beim Herumspielen mit meinem programmierbaren Taschenrechner bin ich auf eine Ungereimtheit gestoßen, die ich bislang nicht selber klären konnte:
Bekanntermaßen ist
INTEGRAL von 0 bis PI/2 sin(x) dx =1.
Das ist also anschaulich die Fläche der Sinusfunktion über der X-Achse im Intervall von 0 bis PI/2 oder 90 Grad.
Zuerst habe ich die Grenzen im Bogenmaß angegeben. Der Taschenrechner liefert dann auch 1 als Fläche (RAD-Modus). Bei der Rechnung „zu Fuß“ ist einem egal, ob man mit Grad oder Bogenmaß rechnet, denn man weiß, das der cos(0 Grad)=1 und der cos(90 Grad, entsprechend PI/2)=0 ist. Dem Taschenrechner ist das aber nicht egal:
Jetzt wird die Berechnung wiederholt, und zwar von 0 bis 90 GRAD (Rechner im DEG-Modus). Nun erhält man als Ergebnis: 57,2958.
Frage nun: was ist das für eine Fläche? Welche Einheit hat sie? Darf man hier umrechnen in „Bogenmaßfläche“, indem man rechnet 57,2958*PI/180 = 1 (wie zuvor)? Diese Umrechnung gilt doch, um einen WINKEL in das BOGENMASS umzurechnen, aber das Ergebnis der Rechnung war eine FLÄCHE (man rechnet ja auch nicht m^2 in cm um!)
Könnt Ihr mir etwas Licht ins Dunkel bringen?
Hallo Lutz,
dieses Missverständnis kommt öfters vor,
vor allem auch beim Ableiten (z.B. bei Fehlerrechnung wenn Winkelfunktionen auftreten). Also:
Nehme einfach ein Stück Papier und zeichen eine Skizze. y(x)=sin(x) von 0… pi/2 , Massstab y : 1 entspr. 1 cm, x: 1 (im Bogenmass! ) entspr. 1 cm. Dein Bildchen ist jetzt 1 cm hoch und ca. 1.57 cm lang, die Fläche unter der Kurve ist 1 cm^2. ok ?.
Jetzt das selbe nochmal im Gradmass. 1 Grad => 1 cm. Das Bild ist jetzt auf 90 cm auseinandergezogen und die Fläche ist um den Faktor 90/(0.5*pi) grösser. Alles klar ?
Gruss kr
mit sin und cos ist es so, dass die Ableitung der Sinusfunkton die Cosinusfunktion ist, und von cos x ist die Ableitung -sin x. Dies gilt allerdings nur, wenn man das Argument x in sin x im Bogenmass angibt. Es ist anschaulich völlig klar, dass der Graph der Sinusfunktion mit x in Grad eine viel kleinere Steigung hat (Nachdifferenzieren!). Entsprechend ist das Integral viel groesser.
Mein Tip: Rechne grundsaetzlich ALLES im Bogenmass, benutze Angaben in Grad nur in Zeichnungen.
Bobok Semjon.
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Nehme einfach ein Stück Papier und
zeichen eine Skizze. y(x)=sin(x) von 0…
pi/2 , Massstab y : 1 entspr. 1 cm, x: 1
(im Bogenmass! ) entspr. 1 cm. Dein
Bildchen ist jetzt 1 cm hoch und ca. 1.57
cm lang, die Fläche unter der Kurve ist 1
cm^2. ok ?.
Jetzt das selbe nochmal im Gradmass. 1
Grad => 1 cm. Das Bild ist jetzt auf
90 cm auseinandergezogen und die Fläche
ist um den Faktor 90/(0.5*pi) grösser.
Alles klar ?
Tut mir leid, leider nein, überhaupt nicht.
Du verwendest nämlich für Grad und Bogenmaß in Deinen Zeichnungen unterschiedliche Maßstäbe, die nicht vergleichbar sind (Bogenmaß: pi ungef. 3,141 , entsprechend 180 Grad, also 3,141 cm; Gradmaß: 1 Grad = 1cm, und dadurch 180 Grad =180 cm!) Du mußt meiner Meinung nach auch die Grad-Skala auf pi „eichen“, so daß 180 Grad auch hier 3,141 cm ergibt. Beide Bildchen sind dann gleich groß. Damit bin ich wieder da, wo ich angefangen habe… schnüff…