wie rechne ich
Integral (2/((x²+1)*x)dx aus???
und letzte frage:
lim n->unendlich (Wurzel aus (n²+n)-Wurzel aus (n²-1))/2
danke!!!
katja
Hallo
Integral (2/((x²+1)*x)dx aus???
Also:
I(2/((x^2 + 1)*x))dx
1.Integral auflösen
I(2/(x^3 + x))dx
2.Integral aufteilen
I(2/x^3)dx + I(2/x)dx
3.Potenzen umschreiben ( obligatorisch ):
I(2*x^-3)dx + I(2*x^-1)dx
4.Inegrieren 
Beim ersten Integral kommt man leicht auf die Lösung indem man es sich rückwärts denkt: x^-2 abgeleitet ergibt -2*x^-3. Wir haben 2*x^-3 gegeben. Was fehlt also noch? Klar! Die -1. Wir erweitern also geschickt mit 1 ( -1*-1 ):
I(-1*-1*2*x^-3)dx + … //das zweite Integral lassen wir erstmal ruhen
umschreiben:
-1*I(-2*x^-3)dx
aufleiten:
-[x^-2]
So den ersten Teil haben wir schon - fehlt noch das zweite Integral. Das ist aber leicht: x^-1 ergibt aufgeleitet ln(x) ( natürlicher Logarithmus). Man erhält also:
I(2*x^-1)dx = [2ln(x)]
Man erhält also:
-x^-2 + 2ln(x) + C
Für die Stammfunktionen. Da es ein unbestimmtes Integral ist mußt du die Konstante C addieren. Fertig!
lim n->unendlich (Wurzel aus (n²+n)-Wurzel aus (n²-1))/2
Weiß ich nicht so genau . Spontan würde ich sagen( sqrt kommt von square root und heißt Wurzel ): sqrt(n^2 + n) wächst schneller gegen unendlich als sqrt(n^2 - 1). Folglich gilt:
lim n->unendlich (sqrt(n^2 + n) - sqrt(n^2 - 1))/2 = unendlich
Korrigiert mich bitte wenn ich mich irre!
Florian
Florian
wie rechne ich Integral (2/((x²+1)*x)dx aus???
2
-----------
(x^2+1) x
~
1
2 -----------
(x^2+1) x
~
1 + x^2 - x^2
2 ---------------
(x^2+1) x
~
1 + x^2 x^2
2 ( ----------- - ----------- )
(x^2+1) x (x^2+1) x
~
1 x
2 ( --- - ------- )
x x^2+1
~
2 2 x
--- - -------
x x^2+1
Stammfunktion davon ist leicht zu finden, weil der Zähler des zweiten Summanden gleich der Ableitung seines Nenners ist.
F = 2 ln(x) - ln (x^2+1)
~
= ln(x^2) - ln(x^2+1)
~
x^2
= ln -------
x^2+1
Gruß
Martin
I(2/(x^3 + x))dx
I(2/x^3)dx + I(2/x)dx
Aua!
Hi!
I(2/(x^3 + x))dx
I(2/x^3)dx + I(2/x)dx
Aua!
Stimmt . Sorry!
Florian
lim n->unendlich (Wurzel aus (n²+n)-Wurzel aus (n²-1))/2
x := Wurzel(n^2 + n) - Wurzel(n^2 - 1)
Für große n kannst Du das „-1“ in der zweiten Wurzel vernachlässigen (aber nicht das „n“ in der ersten).
Deshalb gilt:
x := Wurzel(n^2 + n) - Wurzel(n^2)
x := Wurzel(n^2 + n) - n
x + n = Wurzel(n^2 + n)
Quadrieren ergibt:
x^2 + 2 n x + n^2 = n^2 + n
n^2 hebt sich auf:
x^2 + 2 n x = n
n ist sehr groß. Man kann sich leicht klarmachen, daß die Gleichung nicht erfüllt werden kann, wenn man x ebenfalls sehr groß macht, weil die linke Seite dann „quadratisch groß“ wird, rechts aber nur was „linear Großes“ steht. Folgerung: x muß endlich groß sein. Wenn dies so ist, kannst Du aber x^2 gegenüber 2 n x vernachlässigen. Somit reduziert sich die Geichung auf
2 n x = n
woraus folgt
x = 1/2.
Endergebnis:
lim n->oo (Wurzel(n²+n) - Wurzel(n²-1))/2 = 1/4
Gruß
Martin