Hallo!
ich habe eine frage zum integral!
ich hab zwar schon die lösung, weiß aber nicht warum das so stimmt!
Integral = {
{(x*cosx)dx = x*sinx - {sinx dx = x*sinx + cosx + c
wie kommt man auf den zwischenschritt?? und warum muss man da dann den sin integrieren??
lg gregor
Um dieses zu berechnen benötigst du die partielle Integration.
Diese sagt folgendes aus:{u’v dx = u * v- { u * v’ dx
Jetzt suchst du dir die variable aus, die 1 werden kann. In unserem fall ist dies x(nicht das x von sin*x). Also haben wir folgendes:
u = sin x
v = x
Da die partielle Integration besagt, dass u als erstes abgeleitet ist, ist unser cos auch schon die erste Ableitung. Demzufolge ist die erste Aufleitung sin x (schlag im Tafelwerk oder Wikipedia nach).
Nun steht dann folgendes da:
{cosx * x = sin x *x - { sin x * 1 dx
Aber eigentlich sollte jetzt folgendes zustande kommen, bei der Zusammenfassung:
= sin x* x - (- cos x) + c
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Trick
Hallo,
für dieses Integral kann man auch folgenden eleganten Trick anwenden:
∫ dx x cos(x)
= d/dα ∫ dx sin(αx) |α=1
= - d/dα cos(αx) / α |α=1
= (xα sin(xα) + cos(xα)) / α² |α=1
= x sin(x) + cos(x)
Gruß
Oliver