Hallo ihr Lieben,
in unsrer neuen Matheübung, die wir am Dienstag besprechen, geht es um folgendes Integral
\int ! \frac{\sin(x)}{x} , dx
Da ich mich immer auf die Übung vorbereite, möchte ich auch bei dieser Aufgabe nicht ohne Lösung erscheinen.
Eigentlich behanden wir zur Zeit das Thema „Reihen“ im speziellen Potznreihen, zu vor hatten wir das Thema Integration durchgenommen.
Zur Lösung des Integrals, was man ja leider nicht analytisch lösen kann, habe ich mir gedacht schreibe ich den Sinus als Reihenfunktion um. Also so
\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{(x^{2n+1})}{(2n+1)!}
und jetzt meine Frage, kann ich dann das Integral wiefolgt umschreiben?
\int ! \frac{\sin(x)}{x} , dx = \int ! \frac{\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{(x^{2n+1})}{(2n+1)!}}{x},dx
Ich denke mir, dass die große Summe im Prinzip nur viele kleine Summenglieder erzeugt, welche alle durch x geteilt werden. Wenn das so timmen sollte, kann ich das ganze doch noch umformen zu
\sum\limits_{n=0}^\infty \int ! \frac{(-1)^n * \frac{(x^{2n+1})}{(2n+1)!}}{x},dx
= \sum\limits_{n=0}^\infty \int ! (-1)^n * \frac{(x^{2n+1})}{(2n+1)!} * \frac{1}{x},dx
= \sum\limits_{n=0}^\infty \int ! (-1)^n * \frac{(x^{2n})}{(2n+1)!},dx
= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n * \frac{(x^{2n+1})}{((2n+1)!) * (2k+1)}
Stimmt das so?
Liebe Grüße Matthias
und danke für deine schnelle Antwort