Mein Problem heißt:
y’/(sqrt(1+y’^2))=a.dx
wobei : y’=dy/dx und a=const
was kommt raus, wenn ich nach dy’ integriere?
Iregendetwas in der Art arsinh… aber ich weiß nicht wie ich dahin komme;
nebenbei…könnte mir jemand auch erklären, wieso der arsinh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1)) ist?
Hoffe, jemand kann mir helfen;
Hi Joachim,
ich beginne mal mit der Antwort der 2. Frage:
Wenn die Ableitung zweier Funktionen gleich ist, so können sich beide Funktionen nur um eine additive Konstante unterscheiden. Die Ableitung von arsinh(x) ist (Tabellenwerk) 1/sqrt(x^2+1). Die Ableitung von ln(x+sqrt(x^2+1)) ist (zweifache Anwendung der Kettenregel und geschicktes Zusammenfassen) ebenfalls 1/sqrt(x^2+1). Da beide Funktionen für x=0 den Funktionswert 0 annehmen, muß die o.a. additive Konstante zwangsläufig gleich 0, die Funktionen damit also identisch gleich sein. q.e.d.
Damit dürfte die Beantwortung von Frage 1 auch kein so großes Problem sein, wobei ich mich jedoch frage, was Du mit a.dx meinst.
Gruß
Ted
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nebenbei…könnte mir jemand auch
erklären, wieso der
arsinh(x)=ln(x+sqrt(x^2+1)) ist?
Nach Definition: sinh(x) := 1/2 (e^x - e^-x)
Führe neue Variable y ein: y := sinh(x)
Dann gilt: y = 1/2 (e^x - e^-x)
Löse diese Gleichung auf nach x.
Multiplikation mit 2 e^x liefert:
2 y e^x = e^2x - 1
Umstellen liefert:
1 = e^2x - 2 y e^x
Addition der quadratischen Ergänzung y^2 auf beiden Seiten liefert:
y^2 + 1 = e^2x - 2 y e^x + y^2
Vereinfachung der rechten Seite liefert:
y^2 + 1 = (e^x - y)^2
Wurzelziehen liefert:
sqrt(y^2 + 1) = e^x - y
Addition von y auf beiden Seiten liefert:
y + sqrt(y^2 + 1) = e^x
Logarithmusbildung auf beiden Seiten liefert:
ln(y + sqrt(y^2 + 1) = x
Da y = sinh(x) nach Def. oben ist x = arsinh(y) und daraus folgt, daß
arsinh(y) = ln(y + sqrt(y^2 + 1))
oder mit x statt y geschrieben:
arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))
Fertig.