hi an alle ich habe das integral folgender Funktion zu rechnen :
1/(x^2 + x + 0.5)
ich beschäftige mich damit schon seit langem aber stehe immer auf dem schlauch. kann mir bitte jemand helfen?
danke im voraus.
Hallo,
hi an alle ich habe das integral folgender Funktion zu
rechnen :1/(x^2 + x + 0.5)
Da mir keine gute Partialbruchzerlegung eingefallen ist, schau ich bei Polynomen im Nenner ob sich das irgendwie auf die Form 1/(y^2+1) bringen kann.
Durch rumprobieren hier:
1/ (x^2+ x+ 0.5) = 4/(4*x^2+ 4*x+ 2)= 4/((2*x+1)^2 +1)
Da int(1/(y^2+1))= arctan(y) und y= 2*x+1 bekommt man als Ergebnis
2*arctan(2*x+1) (2 und nicht vier, weil man noch eine 2 vom nachdifferenzieren bekommt)
danke im voraus.
Hoffe ich konnte helfen
Kati
Moin,
1/(x^2 + x + 0.5)
M.E. hilft hier Substitution weiter:
y = x^2+x+0,5 x= 0,5 +/- sqrt(y)
dx = +/- 1 /(2 sqrt(y)) dy
==>F(y) = +/- int [1/(2 y^(3/2))] dy
Achte darauf, daß sich auch die Integrationsgrenzen entsprechend anpassen.
Gruß,
Ingo
*der hofft, in der Analysis noch nicht zu sehr eingerostet zu sein*
sicher hast du mir viel geholfen
vielen dank
ingo hat geschrieben:
y = x^2+x+0,5 x= 0,5 +/- sqrt(y)
wie denn??
ich habe eher x = -0.5 +/- sqrt(y-1/4)
ich hoffe ich irre mich nicht.
Danke, ja, stimmt. Schwups war mir ein Quadrat in der Wurzel weggefallen. Und dann wird’s dadurch leider nicht mehr viel einfacher… dann hilft wohl tatsächlich nur die Kenntnis der arctan 
.
Gruß,
Ingo
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Ich bekomme auch x = -0.5 +/- sqrt(y-1/4)
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Hallo Kati!
Durch rumprobieren hier:
1/ (x^2+ x+ 0.5) = 4/(4*x^2+ 4*x+ 2)= 4/((2*x+1)^2 +1)
Der systematische Weg fuehrt ueber die binomischen Formeln.
Schreibe x^2+x+1/2 = (x+1/2)^2+1/4 und erweitere dann mit 4:
int dx 1/(x^2+x+1/2) = int dx 1/[(x+1/2)^2+1/4]
= 4 * int dx 1/[(2x+1)^2+1]
Die Substitution t = 2x+1, dt = 2 dx, ergibt
2 * int dt 1/(t^2+1)
Das hat die Stammfunktion
2*arctan(t) = 2*arctan(2x+1)
wie Du ja auch richtig berechnet hast
Gruss,
klaus
Da int(1/(y^2+1))= arctan(y) und y= 2*x+1 bekommt man als
Ergebnis2*arctan(2*x+1) (2 und nicht vier, weil man noch eine 2 vom
nachdifferenzieren bekommt)danke im voraus.
Hoffe ich konnte helfen
Kati
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hallo @ alle ich habe wieder einen anderen Weg zur Lösung gefunden aber diesmal mit komplexen Zahlen.
es geht folgendermaßen:
x^2+x+0.5= [x+(1+i)/2][x+(1-i)/2]
versuch jetz das Ganze in dieser Form zu bringen
(A/[x -(1+i)/2]) + (B/[x - (1-i)/2])
nach substitution bekommst du A= i = -B = -i also
x^2+x+0.5 = (i/[x -(1+i)/2]) + (-i/[x - (1-i)/2])
die integral lautet dann
-i*ln|[x + (1-i)/2]| + i*ln|[x + (1+i)/2]| + k k=konstante
toll oder?
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Kati hat geschrieben
"Da int(1/(y^2+1))= arctan(y) "
mir würde gern interessiert wie man drauf kommt?
danke im voraus
Gruss unistern
Hallo Unistern!
"Da int(1/(y^2+1))= arctan(y) "
mir würde gern interessiert wie man drauf kommt?
mir auch
Du kannst zB x=tan(t), dx = (1+x^2) dt substituieren. Dann kommt’s sofort heraus. Oder Du differenzierst den Arcus Tangens und siehst, oh Wunder, es kommt eine rationale Funktion heraus. Oder Du guckst in eine Formelsammlung, etwa Bronstein (Taschenbuch der Mathematik) oder Gradshteyn, Ryzhik (Table of Integrals, Series, and Products).
Gruss,
klaus