Hallo!
Ich hab ein großes Problem: Ich schreibe Dienstag (21.10.2008) eine Matheklausur (Gymnasium Jgst. 12 GK) und unser Thema sind Integralfunktionen. Ein bisschen hab ich davon auch verstanden aber unser Lehrer hat gesagt, dass er eine Aufgabe stellen wird, die man nicht einfach mit Hilfe der Stammfunktion („hochleiten“) lösen kann. Wie zum Beispiel eine sinus-Funktion (oder cos). Das bedeutet man muss einen Graphen zeichnen und sich langsam mit rechtecken dem ergebnis nähren (oder etwa nicht?). Aber wie genau könnte so eine Sinus-Funktion aussehen (Beispiel)?
Danke schonmal für die Hilfe!
Hallo!
Ich hab ein großes Problem: Ich schreibe Dienstag (21.10.2008)
eine Matheklausur (Gymnasium Jgst. 12 GK) und unser Thema sind
Integralfunktionen. Ein bisschen hab ich davon auch verstanden
aber unser Lehrer hat gesagt, dass er eine Aufgabe stellen
wird, die man nicht einfach mit Hilfe der Stammfunktion
(„hochleiten“) lösen kann. Wie zum Beispiel eine
sinus-Funktion (oder cos). Das bedeutet man muss einen Graphen
zeichnen und sich langsam mit rechtecken dem ergebnis nähren
(oder etwa nicht?). Aber wie genau könnte so eine
Sinus-Funktion aussehen (Beispiel)?
Danke schonmal für die Hilfe!
Welche Hilfsmittel dürft ihr denn benutzen? Taschenrechner, GTR oder CAS Rechner? Dürft ihr eine Formelsammlung benutzen? Kennst du die Ableitung der Sinus- bzw. Cosinusfunktion? Kennst du das Bogenmaß? Habt ihr Ober- und Untersummen gebildet? Wie seid ihr mit Grenzwerten umgegangen? Welche Integrationsregeln kennst du schon, ausser aufleiten? Kennt ihr den Unterschied zwischen dem Integral und dem orientierten Flächeninhalt?
Die Antwort auf deine Frage hängt vom Vorwissen ab.
Am einfachsten malst du die Funktion einfach hin und zählst die Kästchen aus oder du nimmst eine Waage mit, schneidest die Fläche aus und du schätzt über die Masse eines Quadratzentimeters die gesuchte Fläche ab.
Gruß
MK
:Welche Hilfsmittel dürft ihr denn benutzen?
Wir haben nen ganz normalen Casio-Taschenrechner und die Formelsammlung. Mehr ist nicht erlaubt!
:Kennst du die Ableitung der Sinus- bzw. Cosinusfunktion?
Nein, die kennen wir noch nicht, deshalb will unser Lehrer die auch drannehmen, weil wir da dann nicht einfach „hochleiten“ können.
:Kennst du das Bogenmaß?
Nein.
Habt ihr Ober- und Untersummen gebildet? Wie seid ihr mit Grenzwerten umgegangen?
Ja´, wir haben immer Rechtecke gebildet und die dann nachher zusammengerechnet aber mit dem Limes haben wir nichts gemacht glaub ich =)
Welche Integrationsregeln kennst du schon, ausser aufleiten? Kennt
ihr den Unterschied zwischen dem Integral und dem orientierten
Flächeninhalt?
Nein wir haben nur „hochleiten“ gemacht.
Am einfachsten malst du die Funktion einfach hin und zählst
die Kästchen aus oder du nimmst eine Waage mit, schneidest die
Fläche aus und du schätzt über die Masse eines
Quadratzentimeters die gesuchte Fläche ab.
Ja ok. Aber wie könnte denn eine sinus-funktion aussehen? die behandle ich dann doch auch genau wie andere Funktionen also um eine Wertetabelle zu erstellen einfach zahlen für x einsetzen und den y wert ausrechnen oder?
danke für dier Hilfe!
Hallo Julia.
Nicht erschrecken, dass ich erst einmal mit der Auswertung Deiner Antworten anfange und Dir nicht alles abnehme (ist ja nicht böse gemeint, Du kennst vielleicht nur manche Begriffe nicht) - am Ende gebe ich auch noch konstruktive Vorschläge, falls Deine Antworten wirklich den Tatsachen entsprechen.
:Kennst du das Bogenmaß?
Nein.
Normalerweise behandelt man das Bogenmaß direkt im Zusammenhang mit den Winkelfunktionen. Wenn Du mal gehört hast, dass 90° dasselbe ist wie π/2, also so Gleichungen wie sin(π/2)=1 kennst, dann kennst Du das Bogenmaß. Das ist eben einfach die reelle Zahl (in dem Fall π/2), die den Winkel beschreibt, im Gegensatz zum Gradmaß, wo der Winkel ja nicht nur ne Zahl ist, sondern eine Einheit besitzt (eben Grad).
Habt ihr Ober- und Untersummen gebildet? Wie seid ihr mit
Grenzwerten umgegangen?
Ja´, wir haben immer Rechtecke gebildet und die dann nachher
zusammengerechnet aber mit dem Limes haben wir nichts gemacht
glaub ich =)
Mit Rechtecken kriegst Du ja noch kein Integral, sondern etwas, was entweder zu groß oder zu klein ist. Dann kommt so ein Satz wie „Jetzt machen wir die Rechtecke immer schmaler“, und schon hast Du einen Grenzwert, nämlich für (Breite des Rechtecks) -> 0. Ohne den lässt sich auch gar nicht definieren (jedenfalls nicht in der Schulmathematik), was ein Integral eigentlich sein soll.
Und wenn Dein Lehrer verlangt, dass es ohne „Hochleiten“ gehen soll, müsst Ihr ja mindestens eine andere Möglichkeit behandelt haben.
Welche Integrationsregeln kennst du schon, ausser aufleiten?
Kennt
ihr den Unterschied zwischen dem Integral und dem orientierten
Flächeninhalt?
Nein wir haben nur „hochleiten“ gemacht.
Auch hier vielleicht nur ein Begriffsproblem: Was stellst Du Dir denn unter einem Integral vor? Ist das für Dich der Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, oder ist Dir bewusst (bzw. hast Du schon mal gehört), dass die Fläche unter der x-Achse negativ gezählt wird? Vielleicht ist für Dich das Integral aber auch nur die Stammfunktion, dann sind dir bislang nur unbestimmte Integrale begegnet (d.h. einfach ∫f(x)dx) und keine bestimmten („Integral von 0 bis 1 über f(x)“).
Am einfachsten malst du die Funktion einfach hin und zählst
die Kästchen aus oder du nimmst eine Waage mit, schneidest die
Fläche aus und du schätzt über die Masse eines
Quadratzentimeters die gesuchte Fläche ab.Ja ok. Aber wie könnte denn eine sinus-funktion aussehen? die
behandle ich dann doch auch genau wie andere Funktionen also
um eine Wertetabelle zu erstellen einfach zahlen für x
einsetzen und den y wert ausrechnen oder?
Wie eine Sinusfunktion aussieht, solltest Du in der 10. Klasse gelernt haben. Vielleicht weckt dieses Bild Erinnerungen:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bild:Sin.s….
Wir mussten uns früher alle eine Parabelschablone kaufen, und da war der Graph der Sinusfunktion auch mit drin. Ansonsten kannst Du natürlich immer noch ne Wertetabelle machen.
So, jetzt zu den konstruktiven Vorschlägen:
Wenn Du eine Stammfunktion bestimmen sollst, kannst Du das auch graphisch machen (vielleicht habt ihr das ja geübt). Dazu musst Du nur wissen, dass die Ableitung ja die Steigung des Funktionsgraphen angibt. Wenn Du jetzt also die Stammfunktion vom Sinus suchst, fängst Du erst bei irgendeinem Punkt an (die Integrationskonstante kommt ja immer noch hinzu, deswegen ist es egal, wo Du anfängst), sagen wir, bei (0,-1). Nun ist der Sinus bei x=0 selbst 0, die Stammfunktion hat also die Steigung 0, geht somit gerade nach rechts weg (nicht irgendwie schräg). Jetzt, also rechts von der 0, wird der Sinus leicht positiv, die Stammfunktion steigt also langsam an, bis bei x=90° bzw. x=π/2 die Steigung 1 ist, hier läuft die Stammfunktion also genau schräg nach oben. Dann steigt sie immer langsamer, bis sie bei x=π wieder waagerecht verläuft usw.
Wenn Dir das alles total unbekannt vorkommt, dann habt ihr das nicht behandelt, macht auch nicht jeder Lehrer. Dann wird er das aber auch nicht in der Klausur verlangen, also die nächste Lösung:
Vielleicht kommt ja so ein Spezialfall dran, wo man sieht, was rauskommt, wenn man’s verstanden hat. Ich nehme also mal an, Du weißt (oder solltest zumindest wissen), dass die Fläche unter der x-Achse negativ ins Integral eingeht und die Fläche über der x-Achse positiv. Jetzt sollst Du z.B. sin(x) von 0 bis 2π=180° integrieren. Schau Dir die Funktion genau an, und Du wirst sehen, dass in diesem Intervall die Fläche oberhalb der x-Achse genauso groß ist wie die darunter, d.h. im Integral tritt diese Fläche einmal positiv und einmal negativ auf, und heraus kommt: Null!
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen, obwohl sich das alles natürlich besser beschreiben lässt, wenn man zusammensitzt und ein Blatt Papier zur Verfügung hat.
Liebe Grüße,
Immo
Ich bin dir nicht böse =) Ich weiß ja selber, dass ich in Mathe ne totale Null bin…ist aber zum Glück auch kein Abiturfach von mir *puh* =)
Aber unser Lehrer hat uns diese ganzen anderen Integrationsregeln wirklich nicht gezeigt bzw. für die Klausur zum Lernen gegeben. Ich bin mal gespannt was er für eine Aufgabe stellen wird.
Aber ich glaube, dass ich die Klausur morgen jetzt ein bisschen besser bewältigen kann. Dankeschön.
Glg Julia