Integralrechnung

Wissenschaft Mathematik
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Hey, haben letzte Stunde ein neues Thema angefangen und ich verstehe mal wieder nur Bahnhof dank meiner ach so tollen Mathelehrerin die alles kann aber anscheinend es uns nicht beibringen will.

Bei der Aufgabe:

Bestimme mithilfe von lim(n->unendlich) Un / lim(n->unendlich) On das folgende Integral "Integralzeichen (großes S) oben(an dem zeichen steh eine 1 und unten eine 0 danach kommt noch (x+1) mal dx

benötige Summenformel;
1+2+3+…+n= n (n+1)bruchstrich geteilt durch 2

nun mein Problem: Da unsere Lehrerin uns nicht die Bedeutung der Zeichen und wie man überhaupt an so eine Aufgabe rangeht und was das alles zu bedeuten hat erklärt hat bin ich völlig hilflos und habe kein Schema mit dem ich mal wenigstens eine Rechnung anfangen kann…

meine Bitte: Kann mir mal jemand diese Aufgabe korrekt aufschreiben und eventuell ein paar erklärungen dazu liefern?

vielen Dank schonmal

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Hallo

Bestimme mithilfe von lim(n->unendlich) Un / lim(n->unendlich)
On das folgende Integral "Integralzeichen (großes S) oben(an
dem zeichen steh eine 1 und unten eine 0 danach kommt noch
(x+1) mal dx

Mit Latex könnte man hier weiterkommen, aber das müsste in die richtige Richtung führen:
Stammfunktion von (x+1) = 0,5*x^2 +x =F(x)
F(1)-F(0)= 0,5*1^2+1 - 0,5*0^2+0 = 0,25+1 - 0,5 = 0,75
Vgl. auch mit http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung

benötige Summenformel;
1+2+3+…+n= n (n+1)bruchstrich geteilt durch 2

Vgl. die Formel mit dem Beispiel von http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induk…

mfg M.L.

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Hey Hans,

also wie ich deine Aufgabe verstanden habe, sieht sie so aus:

\int_0^1 (x+1),\mathrm dx

Richtig?

Allerdings habe ich das mit dem Limes noch nicht ganz verstanden.

Aber dann erstmal zu der Bedeutung der Zeichen.

\int_a^b

ist das Integralzeichen. Integrieren bedeutet, die Fläche unterhalb einer Kurve ausrechnen. a und b geben dir dabei die Intervallgrenzen an, in deinem Beispiel möchtest du also die Fläche ausrechnen, die x+1 in dem Intervall von 0 bis 1 besitzt.

Dann hattest du noch den Limes:

\lim_{n\to\infty}

Dies bedeutet, dass du bei einer Folge die Variable n gegen unendlich laufen lässt und ausrechnest, ob es sich einem Grenzwert annähert. Beispiel:
f(x)= \frac{1}{x}+1

\lim_{x\to\infty} f(x) = 1

da der Bruch für unendlich große Zahlen 0 wird und du dazu die Konstante 1 addierst.

Deine Summenformel ist eine der Gauß´schen Summenformeln.
1+2+3+4+\dots+n = \frac{n(n+1)}2
Was dies aber mit der Aufgabe zu tun hat, weiß ich auch nicht :smile:

So, das waren die Zeichen, nun zu der Aufgabe:

\int_0^1 (x+1),\mathrm dx

Die Fläche berechnet man, indem man die Funktion f(x)=x+1 aufleitet, d.h. Stammfunktion F(x) bildet und dann die Intervallgrenzen einsetzt, wobei man die untere Grenze von der oberen abzieht. Formal sieht das so aus:
\int_a^bf(x),\mathrm dx=F(b) - F(a)

Wieder an deinem Beispiel:

F(x)= \frac{1}{2}x^2+x

\int_0^1 (x+1),\mathrm dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{2}-0 = \frac{3}{2}

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.
Gruß René

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Hallo,

ich weiß nicht ob ich wirklich so qualifiziert bin weil ich auch grad erst durch Integralrechnung durch bin aber ich versuch es einfach mal ^^

also soweit ich das verstehe sollst du mithilfe des Grenzwertes zweier Zahlenfolgen das Integral von x+1 in den Grenzen von 0 bis 1 berechnen.

Erstmal zur Erklärung: das „bestimmte Integral“ (das Integral mit den Werten oben und unten) ist von der Vorstellung her die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse in den jeweiligen Grenzen.

demnächst kommt zwar eine bessere Berechnungsformel aber es dürfte auch über die Zahlenfolgen gehen ^^

Die Fläche unter dem Graphen kann man berechnen, indem man den Raum zwischen 0 und 1 in immer kleinere Teilräume zerlegt und davon jeweils die Fläche bestimmt.
Um den Fehler, den man dabei macht, möglichst klein zu halten (da man mit endlich vielen Teilräumen immer ein Stück zu viel berechnet, dann eins zu wenig…), lässt man dann n gegen unendlich laufen.

Damit kommst du auf folgende Formel:
Integral aus x+1 dx in den Grenzen von 0 und 1=

1/n(=x-Wert des ersten Teilabschnittes)+1(=y-Wert davon)+2/n+1+…+n/n+1 (die Einsen natürlich immer hinter dem Bruchstrich).
Diese Folge kannst du nun umstellen, sodass du auf zwei Zahlenfolgen kommst:
Integral… = lim n->unendlich 1+2+3+…+n+n(das zweite n sind hierbei die Einsen aufsummiert)/(lim n->unendlich n²)
den Wert oben kennst du bereits nach der gegebenen gaußschen Summenformel:
n(n+1)/2+n
wenn du das durch n teilst kommst du auf folgende Formel:
((n+1)/2/n)+1
für n->unendlich konvergiert diese Folge gegen 0,5+1=1,5

mfG

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*hust* soweit ich die Aufgabenstellung verstanden habe, sollte nicht die Stammfunktion, sondern die Grenzwerte von Zahlenfolgen verwendet werden (->Interpretation als riemansche Summe)

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Hey Devil,

ja ich habe deine Antwort schon gelesen :wink:
Aber leider hab ich das nicht aus der Aufgabe rauslesen können…aber damit gibt On und Un einen Sinn - Ober- und Untersumme.

Naja, aber mit Stammfunktionen integrieren macht es doch bissl einfacher :wink:
Schönen Tag noch
Gruß René