Integralrechnung

Wissenschaft Physik
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Hi Leute!

Ich hab hier ein Integral berechnet und das Ergebnis mit Maple überprüft, leider sind die Ergebnisse verschieden.

Es geht um das Integral arccos(x), x=0…1/2

Ich hab
1/6*Pi -1/2 + 1 raus, Maple aber
1/6*Pi -1/2*sqrt(3) + 1

Da ich mal denke, das Maple besser integrieren kann als ich :smile:, wo liegt mein Fehler???

Ach ja, noch eine klitzekleine Frage, wie zum Teufel brechne ich die Stammfunktion von sin²(x). Hab jetzt schon drei verschiedene Ergebnisse gesehen und hab keine Ahnung, welches denn nun stimmt :frowning:

Liebe Grüße

Britta

2

Hi Britta,

Ich hab hier ein Integral berechnet und das Ergebnis mit Maple
überprüft, leider sind die Ergebnisse verschieden.

da kann ich Dir leider auch noch nicht helfen, das haben wir in der Schule nicht gemacht ;(

Ach ja, noch eine klitzekleine Frage, wie zum Teufel brechne
ich die Stammfunktion von sin²(x). Hab jetzt schon drei
verschiedene Ergebnisse gesehen und hab keine Ahnung, welches
denn nun stimmt :frowning:

Aber hier weiß ich mal wieder was:
§sin^2(x)*dx=§sinx*sinx*dx=-sinx*cosx+§cos^2(x)*dx [Integration durch Substitution]

=-sinx*cosx+§[1-sin^2(x)]*dx [cos^2(x)=1-sin^2(x)]

=-sinx*cosx+§dx-§sin^2(x)*dx

=-sinx*cosx+x-§sin^2(x)*dx [+§sin^2(x)*dx]

2*§sin^2(x)*dx=-sinx*cosx+x [*1/2]

§sin^2(x)*dx=1/2*(x-sinx*cosx)

Ich hoffe das hilft Dir, schönen Abend noch

Sebastian

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hallo diemaus britta

Integral arccos(x), x=0…1/2

Int[acos(x)] dx = x*acos(x)-sqrt(1-x^2) fuer |x| Int[sin^2(x)] dx

n=2m gerade! (eher fuer die grossen n’s)

Int[sin^n (x)] dx = Int[{1/2*( 1 - cos(2x)}^m dx]
= 1/(2m+1) * Int[{1-cos(t)}^m] dt wo t=2x
und schon ist die haessliche potenz halbiert!

oder

Int[sin^2(x)] dx = 1/4*(2x-sin(2x)

man kommt auch dahin wenn man setzt:

sin^2(x)=1/2(1-cos(2x)

Int[sin^2(x)] dx = Int[0.5*( 1-cos(2x)] dx =

0.5x - 0.5* Int[cos(2x)] dx =

0.5x - 0.5 * 0.5 sin(2x) = 1/4(2x-sin(2x))

viele gruesse, peter
hoffe sind keine tippfehler drin, im besten falle :smile:

4

Hi!

.5acos(.5)-sqrt(1-1/4)-0*acos(0)+sqrt(1)=

1/6*Pi -1/2*sqrt(3) + 1

Das hab ich auch gemacht, aber ich komme immer auf sqrt(3/4). Wahrscheinlich mach ich mal wieder irgend nen Denkfehler, hab nur keine Ahnung, welchen :smile:

zweites integral:

Int[sin^2(x)] dx

n=2m gerade! (eher fuer die grossen n’s)

Int[sin^n (x)] dx = Int[{1/2*( 1 - cos(2x)}^m dx]
= 1/(2m+1) * Int[{1-cos(t)}^m] dt wo t=2x
und schon ist die haessliche potenz halbiert!

oder

Int[sin^2(x)] dx = 1/4*(2x-sin(2x)

man kommt auch dahin wenn man setzt:

sin^2(x)=1/2(1-cos(2x)

Int[sin^2(x)] dx = Int[0.5*( 1-cos(2x)] dx =

0.5x - 0.5* Int[cos(2x)] dx =

0.5x - 0.5 * 0.5 sin(2x) = 1/4(2x-sin(2x))

viele gruesse, peter
hoffe sind keine tippfehler drin, im besten falle :smile:

Mal sehen, so auf den ersten Blick siehts gut aus, ich werds mal durchrechnen.

Vielen Dank schon mal

Grüße

diemaus

5

Hi!

da kann ich Dir leider auch noch nicht helfen, das haben wir
in der Schule nicht gemacht ;(

Och, das kommt bestimmt noch :wink:)

Ach ja, noch eine klitzekleine Frage, wie zum Teufel brechne
ich die Stammfunktion von sin²(x). Hab jetzt schon drei
verschiedene Ergebnisse gesehen und hab keine Ahnung, welches
denn nun stimmt :frowning:

Aber hier weiß ich mal wieder was:
§sin^2(x)*dx=§sinx*sinx*dx=-sinx*cosx+§cos^2(x)*dx
[Integration durch Substitution]

=-sinx*cosx+§[1-sin^2(x)]*dx
[cos^2(x)=1-sin^2(x)]

=-sinx*cosx+§dx-§sin^2(x)*dx

=-sinx*cosx+x-§sin^2(x)*dx [+§sin^2(x)*dx]

2*§sin^2(x)*dx=-sinx*cosx+x [*1/2]

§sin^2(x)*dx=1/2*(x-sinx*cosx)

Ich hoffe das hilft Dir, schönen Abend noch

Sebastian

Schankedön, werds mal durchrechnen, vielleicht behalt ichs ja mal :smile:

Grüße

diemaus

6

hallo britta,

.5acos(.5)-sqrt(1-1/4)-0*acos(0)+sqrt(1)=

1/6*Pi -1/2*sqrt(3) + 1

Das hab ich auch gemacht, aber ich komme immer auf sqrt(3/4).
Wahrscheinlich mach ich mal wieder irgend nen Denkfehler, hab
nur keine Ahnung, welchen :smile:

aber, einwand eins: stimmt doch:
sqrt(1-1/4) = sqrt(3/4) = 1/2*sqrt(3)

einwand zwei bzw. frage:
hier sagst du, du erhaelst
sqrt(3/4) ,
im ausgangsposting steht an selber(?) stelle jedoch:
1/6*Pi -1/2 + 1

1/2 oder sqrt(3/4)?

am schrecklichsten ist es immer, wenn man vor lauter zeilen und formeln und den ersten schusseligkeitsfehlern gar nichts mehr korrekt erkennt vor allgemeiner verwirrung und/oder wegen unsicherheit vor dem eigenen durchblick durch die kolonnen von formeln. noch schlimmer wird es, wenn man riesige theoretische ausdruecke mit textverarbeitungsprogrammen a la LaTeX in den rechner jagt, programmiersprache statt wysiwyg-systeme, geht trotzdem schoener, sieht aber im source-code erbaermlich aus, was fasel ich da eigentlich fuer offtopic-zeug? *g*

viele gruesse, peter

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7

Hi!!

ICH BIN SO BLÖD!!!

Tschuldige, musste mal sein :smile:)

Also, 1. ja, ich habe 1 mal rausbekommen 1/6*Pi -1/2 + 1
weil ich aus sqrt[1-(1/2)²] das 1/2 rausgezogen hab :smile:
MIR SELBER AUF DIE FINGER KLOPF; SOLL MAN DAS TUN?? NEIN!!!

  1. Mir ist gerade das Brett vorm Kopf runtergefallen, denn 3/4 kann man ja auch schreiben als 3*1/4 und dann ist es natürlich 1/2*sqrt(3).

Manchmal hab ich echt das Gefühl, ich hab mein Hirn an der Tür abgegeben :smile:)

am schrecklichsten ist es immer, wenn man vor lauter zeilen
und formeln und den ersten schusseligkeitsfehlern gar nichts
mehr korrekt erkennt vor allgemeiner verwirrung und/oder wegen
unsicherheit vor dem eigenen durchblick durch die kolonnen von
formeln. noch schlimmer wird es, wenn man riesige theoretische
ausdruecke mit textverarbeitungsprogrammen a la LaTeX in den
rechner jagt, programmiersprache statt wysiwyg-systeme, geht
trotzdem schoener, sieht aber im source-code erbaermlich aus,
was fasel ich da eigentlich fuer offtopic-zeug? *g*

Keine Ahnung *grins*, aber ich kenn das, da hat man nen ewig langen html Code vor der Nase, und irgendein Link geht nicht oder ein Foto will partou nicht erscheinen, und man findet den Fehler einfach nicht. Meistens ist es naur ein Buchstabendreher, aber bis man den mal findet.

DANKE!!

Britta

8

Hallo Britta,

[Stammfunktion] Hab jetzt schon drei verschiedene Ergebnisse
gesehen und hab keine Ahnung, welches denn nun stimmt :frowning:

dazu noch ein lehrreiches Beispiel (im folgenden ist mit „sqrt“ die Quadratwurzel gemeint):

Gesucht sei die Stammfunktion von sqrt(x/(1 – x)).

Ich habe folgende Ergebnisse anzubieten:

F1(x) = –sqrt(x (1 – x)) – arctan(sqrt(1/x – 1))

F2(x) = –sqrt(x (1 – x)) – arcsin(sqrt(1 – x))

F3(x) = –sqrt(x (1 – x)) + arcsin(sqrt(x))

F4(x) = –sqrt(x (1 – x)) + 1/2 arcsin(2 x – 1))

Folgende Funktionswerte mögen außerdem zeigen, daß F2, F3 und F4 nicht identisch sein können:

F2(0.5) = –1.285398…
F3(0.5) = +0.285398…
F4(0.5) = –0.5

Würdest Du mir glauben, wenn ich behaupten würde, daß alle diese Funktionen Stammfunktionen von sqrt(x/(1 – x)) sind?

Wenn ja, kannst Du hier aufhören zu lesen.

Wenn nein, empfehle ich Dir wärmstens, einen Funktionenplotter zu benutzen, und Dir die Graphen von F1 bis F4 anzugucken. Dann wirst Du nämlich einen tollen Aha-Effekt haben, und folgendes für alle Zeiten unvergeßlich gelernt haben:

  1. Funktionen, deren Terme unterschiedlich aussehen, können identisch sein! Beispiel: „sin(x) cos(x)“ und „1/2 sin(2x)“ sind das gleiche; obiges F1 und F2 sind ebenfalls identisch.

  2. Funktionen, deren Terme unterschiedlich aussehen, und nicht identisch sind (verschiedene Funktionswerte an der gleichen Stelle), können trotzdem Stammfunktionen ein und derselben Funktion f sein. Beispiel: Obiges F2, F3, F4.

Viel Spaß beim Überlegen, Tüfteln und Erkenntnisgewinnen :smile:!

Mit freundlichem Gruß
Martin