dieses thema versteh ich überhaupt nicht. könnt ihr mir ma diese aufgabe bitte erklären:
berechnen sie die fläche, die die funktion f(x)=x^4-^6x^3+13x^2-12x+4 mit der x-achse einschließt. zusätzlich zu dieser funktion ist auch noch folgende parabel gegeben: f(x)=2x^2-6x+4. berechnen sie die fläche, welche beide funktionen miteinander einschließen.
bei f(x)=x^4-^6x^3+13x^2-12x+4 hab ich 1,2 raus und bin mir dabei ncht so sicher und wie es dann weiter geht kp.??
vielen dank schonma!!!
hi,
das ist jetzt etwas schwierig …
mit integralrechnung berechnest du flächen zwischen kurven, einer vertikalen am anfang, einer vertikalen am ende und der x-achse.
flächen über der x-achse kommen positiv raus, flächen unter der x-achse negativ. wenn man also nicht aufpasst, dann können sich diese ergebnisse teilweise oder ganz aufheben.
will heißen: du musst jedenfalls zuerst ermitteln, wo eine funktion durch die x-achse geht („nullstellen“); diese punkte sind dann deine „integrationsgrenzen“ beim stückweisen berechnen der eingeschlossenen flächen. oder noch mal anders: du solltest vor der integration einen halbwegs genauen überblick über den verlauf der kurve haben, deren flächenstücke du berechnen willst. du wirst also so was wie eine minimale kurvendiskussion (mit differentialrechnung) zuvor brauchen.
und wenn du die fläche zwischen 2 kurven haben willst, brauchst du die punkte, wo die beiden kurven einander schneiden. das definiert dann deine integrationsgrenzen. wenn du dann von der fläche unter der kurve, die im betreffenden teil über der anderen liegt, die fläche unter der unten liegenden kurve abziehst, hast du die fläche zwischen den kurven.
so weit ein kurz-überblick zur fragestellung.
berechnen sie die fläche, die die funktion
f(x)=x^4-6x^3+13x^2-12x+4 mit der x-achse einschließt.
durch kurvendiskussion kann man ermitteln: die einzigen nullstellen des dings sind x = 1 und x = 2. (probiers aus!) dazwischen ist die kurve über der x-achse.
du brauchst also integral der kurve; und zwar zwischen 1 und 2:
das ist I(x) = 1/5 . x^5 - 6/4 . x^4 + 13/3 . x^3 - 12/2 . x^2 + 4x =
= 1/5 . x^5 - 3/2 . x^4 + 13/3 . x^3 - 6 . x^2 + 4x
dort 2 einsetzen (obere grenze), dann 1 einsetzen (untere grenze), zweiteres vom ersteren subtrahieren.
insgesamt also:
I(1,2) = (32/5 - 3/2 . 16 + 13/3 . 8 - 6.4 + 4.2) -
- (1/5 - 3/2 + 13/3 - 6 + 4) = 1/30
zusätzlich zu dieser funktion ist auch noch folgende parabel
gegeben: f(x)=2x^2-6x+4. berechnen sie die fläche, welche
beide funktionen miteinander einschließen.
also zunächst die schnittpunkte berechnen:
x^4-6x^3+13x^2-12x+4 = 2x^2-6x+4
bzw.
x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0
das ist bei den x-werten 0, 1, 2 und 3 der fall.
es gibt also 4 schnittpunkte zwischen den kurven, nämlich (0,4), (1,0), (2,0) und (3,4). zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 2 und 3 liegt die parabel über der kurve 4. grades, zwischen 1 und 2 liegt sie drunter (und auch unter der x-achse) - dazu brauchst du wieder kurvendiskussion.
du integrierst also zwischen 0 und 1 die parabel und zählst das integral zwischen 0 und 1 der kurve davon ab. das gibt die erste der eingeschlossenen teilflächen.
dann integrierst du die parabel zwischen 1 und 2, betrachtest den betrag und zählst ihn zu den 1/30, die die kurve zwischen 1 und 2 mit der x-achse einschließt, dazu. dann hast du die zweite eingeschlossene fläche.
für die dritte fläche verfährst du zwischen 2 und 3 genau so wie zwischen 0 und 1.
bei f(x)=x^4-^6x^3+13x^2-12x+4 hab ich 1,2 raus und bin mir
dabei ncht so sicher und wie es dann weiter geht kp.??
vielen dank schonma!!!
naja: ob das alles geholfen hat?
m.
I(1,2) = (32/5 - 3/2 . 16 + 13/3 . 8 - 6.4 + 4.2) -
- (1/5 - 3/2 + 13/3 - 6 + 4) = 1/30
da habe ich seltsamerweise was anderes rausbekommen
x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0
ich versteh nicht wie man da drauf kommt
muss man x oder y achsenschnittpunkte ausrechnen?
ab da versteh ich das überhaupt nicht mehr??
sorry bin nicht so toll in mathe 
aber trotzdem vielen dank
hi,
I(1,2) = (32/5 - 3/2 . 16 + 13/3 . 8 - 6.4 + 4.2) -
- (1/5 - 3/2 + 13/3 - 6 + 4) = 1/30
da habe ich seltsamerweise was anderes rausbekommen
also ich glaub, dass meines richtig ist.
x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x = 0
ich versteh nicht wie man da drauf kommt
wie gesagt: du brauchst die schnittpunkte der beiden kurven, also die x-werte, wo f(x) = p(x) (p(x) … die parabel)
muss man x oder y achsenschnittpunkte ausrechnen?
weder noch; die gemeinsamen punkte.
hth
m.
danke nochmals für die bemühungen…
muss man erst die 2 überall einsetzen und dann die 1 und das dann subtrahieren? muss man das auch noch in klammern setzen? dann wäre ja ein minus vor der klammer und man muss dann die vorzeichen ändern oder? trotzdem bekomm ich nicht 0,03 raus das mit den schnittpunkten habe ich immer noch nich hinbekommen
hi,
muss man erst die 2 überall einsetzen und dann die 1 und das
dann subtrahieren?
yep.
muss man das auch noch in klammern setzen?
dann wäre ja ein minus vor der klammer und man muss dann die
vorzeichen ändern oder?
genau!
trotzdem bekomm ich nicht 0,03 raus
ich habs ja vorgerechnet. schau, wo sich deine summanden von meinen unterscheiden.
das mit den schnittpunkten habe ich immer noch nich
hinbekommen
schnittpunkte zweier kurven f(x) und p(x) ist bei den x-werten, wo
f(x) = p(x). (der y-wert ist dann f(x) bzw. p(x).)
in deinem (unserem) fall führt das auf eine gleichung 4. ordnung. die ist allgemein an sich nicht lösbar, in diesem fall aber schon. erstens hat sie kein konstantes glied mehr, d.h. man kann x herausheben und bekommt damit x=0 als erste lösung.
der rest des polynoms ist dann 3. ordnung. man kann eine lösung erraten (z.b. x=1) und dann durch (x-1) durchdividieren. das gibt dann ein polynom 2. ordnung mit den restlichen lösungen x=2 und x=3.
ich fürcht aber sehr, dass dir das hier nicht viel hilft. ich glaub du brauchst da einen „support vor ort“.
lg
m.