Hallo Zusammen, Ich habe eine Frage die mich sehr interessiert, es geht um folgendes :
Durch die Substitution erhalten ich aus dem Integral
(3dx)/(cos^2(4x-2)) => 3/4*integral(du)/(cos^2 u) =>
3/4 tan u+C . Was mir noch unklar ist, warum (du)/(cos^2 u) gleich
(tan u )ist, oder das aus (du)/(1+u^2) => (Arc tan u) wird, oder das aus
(du)/(wurzel(1-u^2)) => (Arc sin U) wird.
Vielleicht kann mir jemanden helfen und es mir erklären.
Vielen dank in voraus
Ziad
hi,
wenn du y = tan(x) = sin(x) / cos(x) ableitest (quotientenregel), dann bekommst du y’ = 1 / cos(x)^2
also ist integral(1/cos(x)^2) = tan(x)
alles zusammen sind standardformeln der integration. man kriegt das mit geeigneter substitution.
z.b.:
integral((du)/(wurzel(1-u^2)) = …
substituiere u = sin(x), also x = Arcsin(u)
du/dx = cos(x)
du = cos(x) dx
… = integral(cos(x)dx / wurzel(1-sin(x)^2) =
= integral(cos(x)dx / cos(x) =
= integral 1 dx = x = Arcsin(u)
ähnlich fürn arctan:
integral(du/(1+u^2)) = …
substituiere u = tan(x), also x = arctan(u)
u^2 = tan(x)^2 = sin(x)^2 / cos(x)^2,
1 + u^2 = (cos(x)^2 + sin(x)^2) / cos(x)^2 = 1 / cos(x)^2
du/dx = 1/cos(x)^2 (siehe oben)
du = 1/cos(x)^2 * dx
… = integral 1/cos(x)^2 * dx * cos(x)^2 = integral(1 dx) = x = Arctan(u)
wie man auf diese substitutionen kommt?
zumindest im fall arcsin(u) ist die formel wurzel(1-u^2) schon sehr verdächtigt, denn sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 oder cos(x)^2 = 1 - sin(x)^2 bzw. cos(x) = wurzel(1-sin(x)^2)
das bringt einen (vielleicht) auf die richtige idee.
hth
m.
Durch die Substitution erhalten ich aus dem Integral
(3dx)/(cos^2(4x-2)) => 3/4*integral(du)/(cos^2 u) =>
3/4 tan u+C . Was mir noch unklar ist, warum (du)/(cos^2 u)
gleich
(tan u )ist, oder das aus (du)/(1+u^2) => (Arc tan u)
wird, oder das aus(du)/(wurzel(1-u^2)) => (Arc sin U) wird.
Vielleicht kann mir jemanden helfen und es mir erklären.
Vielen dank in voraus
Ziad