Hallo,
nur noch eine kleine Hilfe für meinem Fernlehrgang Mathematik, dann bin ich durch!
Die Integralfunktion f(x) = Int[arcsin(2x/(x^2+1)]dx für x>=1, ist mit Hilfe partieller Integration zu zeigen.
Gilt es da, arcsin(x) und 2x/(x^2+1) als die zwei Integranten zu betrachten und zu integrieren? Oder genügt es, 2x/(x^2+1) zu integrieren und dann in arcsin(x) einzusetzten?
So käme dann arcsin[2x/(x^2+1)] – Ln(x^2+1) raus. Bin mir da sehr unsicher!
Habe ja sämtliches schon ausprobiert, komme aber zu keiner plausiblen Lösung.
Daher bitte ich um einen kleinen Ansatz, damit ich noch die letzte Aufgabe bewältigen kann.
Vielen Dank im Voraus, Karl
Ich würde eine 1 davorsetzen und den Arcsin-Term ableiten, die 1 integrieren, dann klappt es vielleicht besser.
mfg,
Ché Netzer
Komplette Lösung, weil’s eh regnet
Hossa 
Die Integralfunktion f(x) = Int[arcsin(2x/(x^2+1)]dx für x>=1,
ist mit Hilfe partieller Integration zu zeigen.
Du möchtest also folgendes Integral berechnen:
f(x)=\int\arcsin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right),dx
Partielle Integration ist hier erst der zweite Schritt. Erstmal musst du diese lästige arcsin-Funktion wegkriegen. Zu diesem Zweck bietet sich folgende Substituiton an:
x=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\quad;\quad dx=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right),d\varphi
Darin erhält man den Ausdruck für das Differential dx mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel (sie ergibt die Vorfaktoren 1/2 bei der inneren Ableitung der trigonometrischen Funktionen):
\frac{dx}{d\varphi}=\frac{d}{d\varphi}\left(\frac{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)=\frac{\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
Mit Hilfe der Substituton vereinfacht sich das Argument der arcsin-Funktion im Integranden drastisch:
\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)+1}=\frac{2,\frac{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)}}{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}}=2,\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\sin\varphi
Die Gleichheit mit dem Sinus im letzten Schritt folgt direkt aus dem Additionstheorem
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha,\cos\beta+\sin\beta,\cos\alpha\quad\Longrightarrow\quad\sin\left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\varphi}{2}\right)=2,\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)
Damit haben wir den Integranden leicht vereinfacht:
\arcsin\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)=\arcsin(,\sin\varphi,)=\varphi
Setzen wir dies und den Ausdruck für dx nun in das Integral f(x) ein, so folgt:
f(\varphi)=\int\varphi\cdot\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right),d\varphi\quad\text{mit}\quad x=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
Dieses Integral ist nun mit partieller Integration leicht lösbar.
f(\varphi)=\int u(\varphi),v^\prime(\varphi),d\varphi=u(\varphi),v(\varphi)-\int u^\prime(\varphi),v(\varphi),d\varphi
wobei:
u(\varphi)=\varphi\quad\Longrightarrow\quad u^\prime(\varphi)=1
v^\prime(\varphi)=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)\quad\Longrightarrow\quad v(\varphi)=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
Wir hatten v’(phi) erhalten, als wir den Ausdruck für das Differential dx berechnet haben. Daher lässt sich v(phi) von dort direkt ablesen. Weiter geht’s:
f(\varphi)=\varphi,\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\int\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right),d\varphi
Das Integral von tan(phi/2) ergibt sich sehr schnell aus:
\frac{d}{dx}\ln(,f(x),)=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}
\Longrightarrow\int\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right),d\varphi=\int\frac{\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)},d\varphi=-2\int\frac{-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)},d\varphi=-2\ln\left(\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
Damit sind wir fast fertig:
f(\varphi)=\varphi,\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)+2\ln\left(\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)\quad\text{mit}\quad x=\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)
Wir müssen nur noch x wieder zurück substituieren:
f(\varphi)=2,\frac{\varphi}{2},\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)+\ln\left(\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
f(\varphi)=2,\arctan\left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right),\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\right)
f(\varphi)=2,\arctan\left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right),\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\ln\left(1+\tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)
Damit ist es nun endlich geschafft:
f(x)=2x,\arctan\left(x\right)-\ln\left(1+x^2\right)
Und ich habe jetzt blutige Finger vom vielen Tippen… Hoffe aber, wenigstens ein bisschen geholfen zu haben
Viele Grüße
Hasenfuß