Integration

Wissenschaft Physik
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Hi,

kennt jemand eine Methode um folgenden Ausdruck zu integrien:

1/(x^2-x+1) (nach dx natürlich)

?

ich denke es müsste über den (arctan(x))’=1/(1+x^2) gehen, aber ich finde keinen Weg die Formel dahin umzustellen!

Blutz

2

Hallo Blutz.

Schreibe

x^2-x+1
= (x-1/2)^2 + 3/4
= 3/4 * [1+4/3*(x-1/2)^2]
= 3/4 * [1+((2*x+1)/sqrt(3))^2]

Jetzt substituierst Du t = (2x+1)/sqrt(3) und erhaeltst
fuer das Integral

Int = 2/sqrt(3)*arctan((2x-1)/sqrt(3))

Gruss,
klaus

3

Vielen Danke,

alleine die Umstellung des Ausdruckes hat mir schon weitergeholfen!!!

4

Noch ein Ansatz:

Du multiplizierst an den Integranden (2x-1)/(2x-1). (Das ist die Ableitung vom Nenner des Integranden)
Dann hast du [(2x-1)/(x²-2x+1)]*(1/(2x-1) zu integrieren. Dazu benutzt du die Methode der partiellen Integration und um die Teilintegrale in der Formel zur partiellen Integration zu berechnen, nutzt du die Methode Integration durch Substitution. Ich hab das jetzt ned genau durchgerechnet aber es sollte funktionieren.

Gruß,
Timo

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Zweifel
Hallo Timo,

kannst Du Deinen Ansatz bitte etwas naeher erklaeren?
Ich rechne nach Deinen Angaben

Int( [(2x-1)/(x^2-x+1)] * [1/(2x-1)]
= ln(x^2-x+1)/(2x-1)

  • 1/2*Int( ln(x^2-x+1)/(2x-1)

Die partielle Integration und die logarithmische Integration funktionieren soweit, aber jetzt komme ich nicht weiter.

Gruss,
klaus

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Hallo Timo,

kannst Du Deinen Ansatz bitte etwas naeher erklaeren?
Ich rechne nach Deinen Angaben

Int( [(2x-1)/(x^2-x+1)] * [1/(2x-1)]
= ln(x^2-x+1)/(2x-1)

  • 1/2*Int( ln(x^2-x+1)/(2x-1)

Kann sein, dass es schon zu spät für Mathe ist, aber ich bekomme einen anderen Integranden auf der rechten Seite der Gleichung.

Meiner Meinung nach ist Int( [(2x-1)/(x^2-x+1)] * [1/(2x-1)]
= ln(x^2-x+1)/(2x-1) + 2*Int(ln(x^2-x+1)/(2x-1)²). Es ist doch
Int(v’*u)=v*u-Int(v*u’) Wenn v=(2x-1)/(x²-x+1) und u =1/(2x-1) ist u’=-2/(2x-1)². Also muss doch
Int( [(2x-1)/(x^2-x+1)] * [1/(2x-1)]) =
ln(x^2-x+1)/(2x-1)

  • 2*Int(ln(x^2-x+1)/(2x-1)²) gelten. Aber dieses Integral ist äusserst schwierig zu berechnen, wenn überhaupt möglich. Ich habs auch nicht weiter als geschafft. Tut mir leid, dass der Vorschlag in eine Sackgasse geführt hat!

Gruß,
Timo

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Einsicht
Hallo Timo,

danke fuer Deine Erklaerungen; ich hatte mich verrechnet. Mea Culpa!

  • 2*Int(ln(x^2-x+1)/(2x-1)²) gelten. Aber dieses Integral ist
    äusserst schwierig zu berechnen, wenn überhaupt möglich. Ich
    habs auch nicht weiter als geschafft.

Ja, leichter wird’s nicht durch diese Umrechnungen…

Danke und Gruss,
klaus :smile: