Differentialrechnung ist ein langweiliges Geschaeft, denn nach den festen Regeln kann man alles erschlagen was einem unter die Finger geraet. Integralrechnung hingegen ist viel interessanter!
Es gibt partielle Integration, Integration durch Substitution, Integration ueber Partialbruchzerlegung usw…
Die aufregendste Methode ist aber die Integration durch Intuition!
Virtuallender sucht deshalb die Loesung des folgenden Integrals um die Brain-Dichte in diesem Forum abschaetzen zu koennen:
I = Integral[x^2*arsinh{sqrt(r^2-x^2)/x}*dx]
arsinh = Area Sinus hyperbolicus
sqrt = Quadratwurzel
r = Parameter
Bitte eine analytische Loesung und keine numerische. Auch bitte keine Loesung mit Mathematica, Mathcad oder dergleichen.
Sollte Mathematica3/4 oder hoeher eine Loesung findet, so wuerde ich sie trotzdem gerne hoeren. Denn ich habe kein Mathematica und deshalb weiss ich auch nicht, ob dieses Tool es kann…
So weit mir bekannt ist, ist eine Loesung in keiner Library zu finden. Sollte jemand die Loesung in einer Bibliothek finden, so wuerde mich das brennend interessieren, denn dann muss diese Library sehr gut sein.
Ich habe mal eine analytische Loesung obigen Integrals gefunden und werde sie auch auf Anfrage nach gewisser Zeit preisgeben.
eigentlich will ich nicht, dass jemand das Integral loest. Ich habe es ja ohnehin schon geloest. Mir geht es eigentlich nur darum ob jemand literaturmaessig einen guten Ueberblick ueber das Gebiet hat.
Ich moechte nur nicht Standardantworten haben, wie schau im Bronstein, Fichtenhoelzern, Smirnov, Abramowitz, Gradshteyn, Kamke, Doetsch oder der gleichen nach.
Leider finde ich in der Literatur nix dergleichen und wenn es doch irgendwo steht, dann waere ich sehr an der Quelle interessiert. Ich meine nur damit dass wer das kennt, auch einen guten Ueberblick haben muss…
… die regelmäßigen Leser dieses und diverser anderer w-w-w-Bretter zu examinieren, halte ich für ausgesprochen frivol und leichtsinnig - braindichtemäßig betrachtet.
Ich will hier in diesem Forum keine Schikane betreiben, aber ich habe schon oft gehoert und auch gelesen, dass es in diesen Foren zu viele selbsternannte Fachleute gibt. Damit liege ich bestimmt nicht falsch.
Ich wollte nur eine Antwort von einem Profi haben, der auch einem nichtPhysiker einen Tip bzgl. Literatur geben kann. Denn jemand wie Du, der das Problem packt, hat sich auch damit beschaeftigt und kennt sich in der Thematik aus.
Allerdings gebe ich Dir nur 90% der maximalen Punkte:
Die Loesung lautet exakt:
1/3 * x^3 * arsinh(z) - 1/6 * r * sign(x) * […]
Trotzdem waere ich Dir dankbar, wenn Du mir mal ein Buch nennen koenntest…
Ich hab doch bereits gesagt, das lernt man im 1ten Semester. Und dass ich ueberhaupt nicht gut bin, merkt man daran, dass ich das Vorzeichen von x verschlampt habe…naja, das 1te Semester ist schon ne Zeit lang her…
Ich will hier in diesem Forum keine Schikane betreiben, aber
sehr lobenswert
ich habe schon oft gehoert und auch gelesen, dass es in diesen
Foren zu viele selbsternannte Fachleute gibt. Damit liege ich
bestimmt nicht falsch.
Du weisst das nur vom Hoerensagen, bist Dir aber trotzdem sicher, dass Du nicht falsch liegst???
Ich wollte nur eine Antwort von einem Profi haben, der auch
einem nichtPhysiker einen Tip bzgl. Literatur geben kann. Denn
jemand wie Du, der das Problem packt, hat sich auch damit
beschaeftigt und kennt sich in der Thematik aus.
??? Das sind Standardverfahren wie partielle Integration, Substitution etc. Lernt man schon am Gymnasium.
Allerdings gebe ich Dir nur 90% der maximalen Punkte:
Die Loesung lautet exakt:
1/3 * x^3 * arsinh(z) - 1/6 * r * sign(x) * […]
Ein Minuszeichen unter Freunden…
Trotzdem waere ich Dir dankbar, wenn Du mir mal ein Buch
nennen koenntest…
ja ich weiss. Hinter jeder Loesung steht mehr oder weniger ein (Standard-)Verfahren. Was ich unter Intuition nur meinte ist mehr oder weniger die Frage mit was man abfaengt, damit der Weg auch zum Erfolg fuert. Der Ansatz ist also nicht gleich offensichtlich.
Ich weiss nicht was man im 1. Semenster lernt. Eine Pruefung haette ich auch nie bestanden, denn ich habe als nicht Gelernter immerhin mehr als 2 Tage gebraucht um ueberhaupt einen Ansatz zu finden. In einer Pruefung hat man aber vielleicht nur 2 Std Zeit.
Trotzdem hat mich das so interessiert, dass ich in meiner Freizeit mehr darueber lernen moechte. Den Bronstein habe ich mir allerdings schon gekauft. Ist aber wie ich gesehen habe ein Nachschlagewerk und kein Buch, wo man die Technik verfeinern kann.
Differentialrechnung ist ein langweiliges Geschaeft,
Wenn das so ist, dann bitte differenziere folgende Funktion:
f(0)=0,
f(x)=0, wenn x irrational,
f(x)=1/(p+q), wenn x rational und x=p/q, p,q teilerfremd.
Sollte f nicht diff’bar sein, so ist das natürlich zu zeigen.
Das Beispiel ist mir spontan beim Lesen Deiner Meldung eingefallen, ich habe noch nicht weiter darüber nachgedacht und kenne die Lösung nicht.
Differentialrechnung ist ein langweiliges Geschaeft,
Wenn das so ist, dann bitte differenziere folgende Funktion:
f(0)=0,
f(x)=0, wenn x irrational,
f(x)=1/(p+q), wenn x rational und x=p/q, p,q teilerfremd.
nicht differenzierbar,
weil bei beliebig kleiner Umgebung irgendeines beliebigen Punktes, die Differenz der Funktionswerte nicht beliebig klein wird (f(x0)-f(x) nicht -> 0, wenn x -> x0).
Das ist mein Tip.
f(0)=0,
f(x)=0, wenn x irrational,
f(x)=1/(p+q), wenn x rational und x=p/q, p,q teilerfremd.
nicht differenzierbar,
Falsch, zumindest in algebraischen Punkten differenzierbar (Weierstrass-Theorem). Auf dtsch: L"osungen von Polynomgleichungen sind schlecht rational approximierbar, wenn man’s quantitativ macht, kommt Differenzierbarkeit raus.
Lutz
PS: Das Standardbeispiel hat "ubrigens 1/q statt 1/(p+q).
Falsch, zumindest in algebraischen Punkten differenzierbar
(Weierstrass-Theorem). Auf dtsch: L"osungen von
Polynomgleichungen sind schlecht rational approximierbar, wenn
man’s quantitativ macht, kommt Differenzierbarkeit raus.
schon wieder daneben… ich glaub mit der Funktion hab ichs nicht so *g*
Falsch, zumindest in algebraischen Punkten differenzierbar
(Weierstrass-Theorem). Auf dtsch: L"osungen von
Polynomgleichungen sind schlecht rational approximierbar, wenn
man’s quantitativ macht, kommt Differenzierbarkeit raus.
Wo gibts das Beispiel? Ist das soweit „Standart“ dass man
es in einem normalen Zahlentheoriebuch findet?
Das interessiert mich sehr!
nicht differenzierbar,
weil bei beliebig kleiner Umgebung irgendeines beliebigen
Punktes, die Differenz der Funktionswerte nicht beliebig klein
wird (f(x0)-f(x) nicht -> 0, wenn x -> x0).
Für rationale x trifft das zu, für irrationale nicht.
Für irrationale x ist f stetig (Differenz der Funktionswerte geht gegen 0, muß man sich genau überleghen), ob diff’bar, das ist zu prüfen.
Ciao
Cicero
Falsch, zumindest in algebraischen Punkten differenzierbar
(Weierstrass-Theorem). Auf dtsch: L"osungen von
Mit algebraischen Punkten hat das nichts zu tun. Die Rationalen Zahlen sind alle algebraisch, in diesen Punkten ist f nicht einmal stetig. Für irrationales x ist f stetig. Ob f dort diff’bar ist, das ist zu zeigen.
Ciao
Cicero
teert mich, federt mich, streut Asche auf mein Haupt
Mit algebraischen Punkten hat das nichts zu tun. Die
Rationalen Zahlen sind alle algebraisch, in diesen Punkten ist
f nicht einmal stetig. Für irrationales x ist f stetig. Ob f
dort diff’bar ist, das ist zu zeigen.
In nichtrationalen algebraischen Punkten ist die Funktion wohl Lipschitz-stetig, das gibt Weierstrass her, ansonsten ist sie in keinem irrationalen Punkt differenzierbar.
Kurzfassung:
q grosse Primzahl,
xq runden,
Differenzenquotient nach unten absch"atzen,
Konstante f"ur alle q ist 1/(|x|+2)
Wo gibts das Beispiel? Ist das soweit „Standard“ dass man
es in einem normalen Zahlentheoriebuch findet?
z.B. Polya, Szegö: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis,
Band 1, Springer-Verlag.
Das ist aber nur etwas für Spezialisten.
Ansonsten sollte es in den Lehrbüchern über Reelle Funktionen (nicht Zahlentheorie) vorkommen; ich habe in einigen nachgeschaut, es aber nicht gefunden.
Gruß
Cicero
noch einfacherer beweis:
betrachte nur die dyadischen brueche.
mit hilfe von denen kann man leicht abschaetzten,
dass der linksseitige grenzwert des diffquotienten
hoechstens -1/2 ist, rechtsseitig mindestens 1/2, d.h.
nicht diffbar.
Marco
rechtsseitig mindestens
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