Hallo, ich habe gerade Abitur geschrieben und bin dort auf ein Problem gestoßen. Ich habe das hier mal vereinfacht dargestellt:
Eine Maschine, die Lineale herstellt kostet 100 DM. Der Materialpreis liegt bei 2 DM pro Lineal. Daraus ergibt sich folgende Stückkosten-Funktion:
f(x) = (2x + 100)/x
(x ist Element von R+ )
(weil x = 0 nicht definiert ist, kann man für die Funktion auch f(x) = (2x + 102)/(x + 1) nehmen, das ist jedoch für mein Problem egal)
Menge der Lineale: x
Stückpreis (bei einer produzierten Menge von x): f(x)
Nun sollte gezeigt werden, dass sich die Gesamtkosten durch Integration errechnen lassen. In meinen Augen ist das jedoch Schwachsinn, da sich die Gesamtkosten einfach durch f(x) * x ergeben.
Wie errechnet man also die Gesamtkosten? Welches Verfahren ist richtig?
Hi Eike,
spontan (aber ohne Gewähr) würde ich dir recht geben. wenn man integriert addiert man nämlich immer den Anteil der Kosten der Maschine hinzu, der gelten würde, wenn man nach diesem Lineal aufhören würde.
Beim ersten Lineal also 100 DM, beim 2. 50 DM usw.
Damit wären aber die Kosten der Maschine falsch eingerechnet.
(Mir ist klar, dass ich aus dem Integral jetzt eine Summe gemacht habe, aber für ganze x (wie produziert man halbe Lineale?) müsste es ja übereinstimmen.
Aber bei Abiprüfungen muss man immer vorsichtig sein, bist du sicher dass die Frage genau so gestellt war?
tschüs
Hendrik
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(Mir ist klar, dass ich aus dem Integral jetzt eine Summe
gemacht habe, aber für ganze x (wie produziert man halbe
Lineale?) müsste es ja übereinstimmen.
Ja, ich denke auch, dass das in Ordnung ist. So hab ich mir das auch hergeleitet.
Aber bei Abiprüfungen muss man immer vorsichtig sein, bist du
sicher dass die Frage genau so gestellt war?
Es wurde nach den Gesamtkosten gefragt, die durch Integration zu berechnen seien. Ich hab auch schon überlegt, ob man die Gesamtkosten anders verstehen kann, aber eigentlich ist das ganze doch sehr simpel.
Wenn ich mich richtig entsinne, hat der Lehrer uns das schon im Unterricht so (mit Integration) verkauft, damals hab ich aber nicht darüber nachgedacht.
Eigentlich hätte das dem Prüfer auffallen müssen oder der hat den Vorschlag nur sehr halbherzig angeguckt.
Jedenfalls hast du mit deinen Zweifeln recht.
Die Funktion
f(x) = 2+100/x bestimmt ja nur für eine vorgegebene Zahl von zu produzierenden Linealen den Einzelstückpreis.
Integrierte man darüber, hat man aber mitnichten den Gesamtpreis für x Lineale, sondern die Summe über alle Einzelstückkosten.
Um den Gesamtpreis zu berechnen, muß man wissen, wie viele Lineale man produzieren möchte (x) und wieviele man am Ende tatsächlich produziert (t).
Somit ergibt sich als Funktion für den Gesamtpreis
G(x,t)= t*(2+100/x)
Verkauft man tatsächlich alle Lineale, und muß somit keinen Produktionspreis vorab angeben, gilt t=x und somit
G(x) = 2x+100
was nicht mit dem Integral von f(x) übereinstimmt.
Also würde ich sagen, daß du recht hast und die Aufgabe entweder falsch gestellt worden ist oder sauschlecht formuliert.
Gruß
Tyll