Hi, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe hier:
Integriere die Funktion sin(z)/z^4 über den Kreis mit Mittelpunkt 1 vom Radius 2.
Hab das schon mit so ziemlich allen Tricks versucht, die ich kenne (das heißt Taylorreihenentwicklung, Cauchy-Integralformel, verallgemeinterte Cauchy-Integralformel und noch nen paar Rechnerreien mit der Formel für die partielle Integration in Kombination mit den vorher genannten Formeln). Das hat aber alles nix gebracht. Bin schon fast am verzweifeln, weil die Lösung sicher total einfach ist. Kann mir da jemand helfen?
Greetz,
Timo
Integriere die Funktion sin(z)/z^4 über den Kreis mit
Mittelpunkt 1 vom Radius 2.
Hallo.
Die Lösung erhält man durch Anwenden des Residuensatzes, wobei die einzige Polstelle der Funktion bei z=0 ist.
Die Taylorentwicklung des Sinus um z=0 ist:
sin(z) = z - z³/6 + z5/120 - …
Folglich ist:
sin(z) / z4 = 1/z³ - 1/(6z) + z/120 - …
Das Residuum an der Stelle z=0 ist also:
Res( sin(z) / z4, z=0 ) = -1/6
Damit ergibt sich für das Integral mit Hilfe des Residuensatzes:
∫dz sin(z) / z4 = 2πi * (-1/6) = - iπ/3,
falls der Kreis in Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird bzw. + iπ/3, falls er im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
Gruß
Oliver
geht das auch ohne Residuensatz?
hi,
erstmal Danke für die Hilfe!
Aber kann man das Integral auch ohne diesen Satz berechnen? Der Satz kam in der Vorlesung noch nicht drann
verallgemeinerte Cauchy-Integralformel
Hi,
Aber kann man das Integral auch ohne diesen Satz berechnen?
Natürlich. Es geht auch über die verallgemeinerte Cauchy-Integralformel:
f (n)(z) = n!/(2πi) * ∫ dζ f(ζ)/(ζ-z)n+1
Hier ist:
f(z) = sin(z)
z = 0
n=3
Womit der Satz, angewendet auf unser Problem, ergibt:
∫ dζ sin(ζ)/ζ4 = 2πi/3! * sin(3)(0) = πi/3 * (-cos(0)) = -πi/3
Gruß
Oliver
Danke, danke und nochmals Danke! Warum bin ich da nur nicht selbst draufgekommen? Verdammt.
Naja, ich hab ja noch eine Aufgabe. Da kann ich ja dann weiterüben.
nochmal: verallgemeinerte Cauchy-Integralformel
Ich muss leider nochmal nerven, sorry: Wenn man z=0 wählt, müsste aber 0 auch der Mittelpunkt des Integrationskreises sein. Aber der Mittelpunkt ist aber 1. Oder seh ich da jetzt was falsch?
Ich muss leider nochmal nerven, sorry: Wenn man z=0 wählt,
müsste aber 0 auch der Mittelpunkt des Integrationskreises
sein. Aber der Mittelpunkt ist aber 1. Oder seh ich da jetzt
was falsch?
Nein, der Satz gilt für alle z aus dem Innerem der Kreisscheibe.
Gruß
Oliver