Hallo zusammen!
In ein paar Wochen muss ich meine HM-Prüfung schreiben und es gibt ein paar Themen die mir nicht so liegen. Genau bei diesen Themen zweifle ich dann auch an meinen Ergebnissen oder komme einfach nicht auf einen guten Ansatz. Eines dieser Themen ist die Integralrechnung für reelle Funktionen einer Veränderlichen. Vielleicht könnt ihr mir ja bei den folgenden drei Problemen etwas auf die Sprünge helfen:
a) Int(1/(1+(cos(x))^2),x) kann ich dadurch lösen das ich x durch eine Funktion in u substituiere. Wenn ich mir das Ergebnis im Bronstein anschaue wäre irgendwas mit Tangens sinnvoll, aber bis jetzt habe ich noch nicht die passende Funktion gefunden. Mit was soll ich am besten substituieren?
b) Int(sin(x)/x,x=0…1) lässt sich nicht geschlossen analytisch lösen. Darum habe ich sin(x) in eine Taylorreihe entwickelt und wegen der vollständigen Konvergenz 1/x in die Summe gezogen: 1/x*Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!,n=0…infinity) = Sum((-1)^n*x^(2*n)/(2*n+1)!,n=0…infinity) Das habe ich dann gliedweise zu Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/((2*n)!*(2*n+1)^2),n=0…infinity) integriert und für x 1 eingesetzt. Das numerische Ergebnis des Ausgangsproblems von Maple unterscheidet sich von meiner Lösung um den Faktor 2. Warum? Oder ist meine Lösung ganz falsch?
c) Zu Int(1/sin(x),x) habe ich überhaupt gar keine Idee. Ursprünglich dachte ich die Einsfunktion davor zu schreiben, einmal partiell zu integrieren und hoffen das es dann durch Substitution zu lösen ist (ggf. auch mehrfach), aber damit bin ich in eine Sackgasse gelaufen. Hat jemand eine Idee was ich da machen kann?
a) Int(1/(1+(cos(x))^2),x) kann ich dadurch lösen das ich x
durch eine Funktion in u substituiere. Wenn ich mir das
Ergebnis im Bronstein anschaue wäre irgendwas mit Tangens
sinnvoll, aber bis jetzt habe ich noch nicht die passende
Funktion gefunden. Mit was soll ich am besten substituieren?
Das Ergebnis (S.55, 344. Int., a=1) ist jedenfalls (1/2*sqrt(2))*arcsin((1-3cos²x)/(1+cos²x))
Wahrscheinlich muss man cos²x geeignet substituieren… tan(x)=sin(x)/cos(x) Irgendwie
b) Int(sin(x)/x,x=0…1) lässt sich nicht geschlossen
analytisch lösen. Darum habe ich sin(x) in eine Taylorreihe
entwickelt und wegen der vollständigen Konvergenz 1/x in die
Summe gezogen:
1/x*Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!,n=0…infinity) =
Sum((-1)^n*x^(2*n)/(2*n+1)!,n=0…infinity) Das habe ich dann
gliedweise zu
Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/((2*n)!*(2*n+1)^2),n=0…infinity)
integriert und für x 1 eingesetzt. Das numerische Ergebnis des
Ausgangsproblems von Maple unterscheidet sich von meiner
Lösung um den Faktor 2. Warum? Oder ist meine Lösung ganz
falsch?
c) Zu Int(1/sin(x),x) habe ich überhaupt gar keine Idee.
Ursprünglich dachte ich die Einsfunktion davor zu schreiben,
einmal partiell zu integrieren und hoffen das es dann durch
Substitution zu lösen ist (ggf. auch mehrfach), aber damit bin
ich in eine Sackgasse gelaufen. Hat jemand eine Idee was ich
da machen kann?
Bronstein Seite 52, Nr.286, a=1 -> (1/a) * ln tan (ax/2) -> (1/a)ln (cosec ax - cot ax)
Hier könnte man den Sinus ebenfalls durch eine Taylorreihe annähern…
