Ich versteh auch nach langen internetrecherchen nicht wie ich das integrieren soll. Kann mir jemand helfen?
hi,
Ich versteh auch nach langen internetrecherchen nicht wie ich
das integrieren soll. Kann mir jemand helfen?
typischer fall für „parzielle integration“.
es gibt für das differenzieren eine „produktregel“:
(uv)’ = u’v + uv’
also:
uv = integral((uv’) = integral(u’v) + integral(uv’)
also:
integral(u’v) = uv - integral(uv’)
das ganze hat dann einen sinn, wenn integral(uv’) irgendwie einfacher wird als integral(u’v)
versuch also, (sinx)^4 irgendwie als ein produkt uv’ aufzufassen. naheliegend ist vielleicht:
u = sin³x; v’ = sinx
dann ist:
u’ = 3 sin²x cosx (kettenregel fürs differenzieren)
v = - cosx
also:
integral(sinx)^4 = - sin³x * cosx - integral(3*sin²x * cosx * (-cosx))=
= - sin³x * cosx + integral(3*sin²x * cos²x ) =
= - sin³x * cosx + 3 * integral(sin²x * cos²x ) =
= - sin³x * cosx + 3 * integral(sin²x * (1-sin²x )) =
= - sin³x * cosx + 3 * integral(sin²x) - 3 * integral(sinx)°4)
also:
4 * integral(sinx)^4 = - sin³x * cosx + 3 * integral(sin²x)
bzw.:
integral(sinx)^4 = (1/4) * (- sin³x * cosx + 3 * integral(sin²x)) =
= -(1/4) * sin³x * cosx + (3/4) * integral(sin²x)
damit hast du das integral von (sinx)^4 auf das wesentlich einfachere integral von sin²x zurückgeführt. dieses kannst du nach derselben methode wieder integrieren.
du bekommst: integral(sin²x) = (1/2) * (x - sinx cosx)
(probiers aus!)
insgesamt also:
integral(sinx)^4 = -(1/4) * sin³x * cosx + (3/4) * integral(sin²x) =
= -(1/4) * sin³x * cosx + (3/4) * ((1/2) * (x - sinx cosx)) =
= -(1/4) * sin³x * cosx + (3/8) * (x - sinx cosx)
(und, wenns denn sein muss: „+ C“)
wenn du das ableitest, bekommst du wirklich (sinx)^4
m.
Ich versteh auch nach langen internetrecherchen nicht wie ich
das integrieren soll. Kann mir jemand helfen?
Scheint auch nicht ganz trivial zu sein. Die Formelsammlung verrät:
sin<sup>n-1</sup>x cos x n-1
∫sin<sup>n</sup>x dx = - ------------- + --- ∫sin<sup>n-2</sup>x dx
n n
Damit kommst du dann noch auf ein Integral von sin²x. Das Ganze nochmal durchgeführt, und du hast eine Lösung.
Gruß
Kubi
Und weil aller guten Dinge drei sind, noch eine Lösung:
sin2 x = 1/2 (1 – cos(2 x))
cos2 x = 1/2 (1 + cos(2 x))
⇒ sin4 x = (sin2 x)2
= (1/2 (1 – cos(2 x)))2
= 1/4 (1 – 2 cos(2 x) + cos2(2 x))
= 1/4 (1 – 2 cos(2 x) + 1/2 (1 + cos(4 x)))
= 3/8 – 1/2 cos(2 x) + 1/8 cos(4 x)
cos(n x) stammfunktioniert zu 1/n sin(n x).
⇒ F(x) = 3/8 x – 1/4 sin(2 x) + 1/32 sin(4 x)
Gruß
Martin
Sorry für den Off-Topic-Beitrag. Aber:
Sammfunktioniert wird mein neues Lieblingswort:smile: Super:smiley:
Gruß
Für die, die ihn noch nicht kennen [off topic]
…wird mein neues Lieblingswort:smile:
grins…
Zwei Mathematiker in einer Bar streiten sich darüber, wie weit es beim Durchschnittsbürger mit den Mathematikkenntnissen her ist. Der eine behauptet, dass die meisten keine Ahnung haben, aber der andere meint, dass durchaus ein gewisses Grundwissen vorhanden ist.
Als der erste mal kurz austreten muss, ruft der zweite die blonde Kellnerin und erklärt ihr, dass er sie in ein paar Minuten, wenn sein Freund zurück ist, etwas fragen wird, und sie möge doch bitte auf diese Frage mit ‚ein Drittel x hoch drei‘ antworten. Etwas unsicher bejaht die Kellnerin und wiederholt im Weggehen „Ein Drittel x hoch drei… ein Drittel x hoch drei…“
Der Freund kommt zurück und der andere meint: „Ich werd Dir beweisen, dass die meisten Menschen doch was von Mathematik verstehen. Ich frag jetzt die blonde Kellnerin da, was das Integral von x zum Quadrat ist.“ Der zweite lacht, ist aber einverstanden. Also wird die Kellnerin gerufen und gefragt, was das Integral von x zum Quadrat sei. Diese antwortet: „Ein Drittel x hoch drei.“
Und im Weggehen dreht sie sich noch mal um und ruft: „Plus c!“
(Nu aber gut, sonst werden die MODs noch sauer… lach)
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