Hallo Bruno,
die zweite Frage ist einfacher zu lösen (nicht das dx vergessen):
\int \frac{1}{\sqrt{x}}, dx
=\int x^{-\frac{1}{2}},dx
=\frac{1}{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}\cdot x^{-\frac{1}{2}+1}
=\frac{1}{;\frac{1}{2},}\cdot x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}.
Das zweite ist etwas komplizierter:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},dx
Die erste Möglichkeit ist „gezieltes Raten“:
Du weißt, dass sich die e-Funktion beim Ableiten nur wenig ändert, also probierst Du mal, diejenige e-Funktion abzuleiten, die sich in Deinem Integral findet:
\frac{d\left(e^{\sqrt{x}}\right)}{dx}
=\frac{d\left(e^{\sqrt{x}}\right)}{d\sqrt{x}}\cdot\frac{d\sqrt{x}}{dx}
=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
=\frac{1}{2}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
Das sieht ja schon fast so aus wie der Ausdruck, von dem Du die Stammfunktion suchst - nur der Faktor stört noch. Den musst Du durch eine 2 ausgleichen, denn
\frac{d\left(2\cdot e^{\sqrt{x}}\right)}{dx}
= 2\cdot\frac{d\left(e^{\sqrt{x}}\right)}{dx}
=2\cdot\frac{1}{2}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}
=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
Also ist
\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},dx=2e^{\sqrt{x}}.
Natürlich geht das auch ohne Raten, und zwar mit der Substitutionsregel für Integrale. Da die Wurzel im Exponenten der e-Funktion uns am Integrieren hindert, substituieren wir diese einfach:
z:=\sqrt{x}.
Nun brauchen wir auch noch einen Ausdruck für dx, und dazu berechnen wir
\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\leftrightarrow dx=2\sqrt{x},dz = 2z,dz.
Nun geht das Integrieren ganz einfach:
\int\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},dx
=\int\frac{e^z}{z}\cdot2z,dz
=\int2e^z,dz
=2e^z
=2e^{\sqrt{x}}.
Liebe Grüße
Immo