Integrationsproblem

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo zusammen

Habe eine Aufgabe und komme nicht auf die scheinbar richtige Lösung.

\int x \sqrt{x} = \frac{2x^\frac{5}{2}}{5}

Ich bekomme als Resultat jedoch

\int x \sqrt{x} = \frac{2x^\frac{5}{2}}{6}

Wo mache ich den Fehler:

\int x \int \sqrt{x}

nun integriere ich:

\int x = \frac{1}{2}x^2

und:

\int \sqrt{x} = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}

nun erhalte ich wenn ich die beiden multipliziere:

\frac{1}{2}x^\frac {2}{1}* \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} = \frac{2}{6}x^\frac{5}{2}

richtig müsste es aber

\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}

sein. Wo mache ich den Fehler??

Herzlichen Dank für Tipps und Hilfe.
Bruno

2

Hallo Bruno,
du darfst nicht so einfach zerlegen bzw. multiplizieren.

Kleines Bsp zur Veranschaulichung:
\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3
\int x dx \cdot\int x dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{4}x^4.

Tipp für deine Aufgabe: Schreib das ganze als
\int x \sqrt{x} dx = \int x\cdot x^{\frac{1}{2}}dx =…

Gruß
Kati

3

Hallo,

Du darfst nicht einfach die Faktoren einzeln integrieren und dann stumpf die Integrale multiplizieren. Wenn Du das so machen willst, musst du die Produktregel zur Integration benutzen.

Beispiel, warum Dein Ansatz nicht funktioniert:

\int x^2 = \int x * \int x = \frac{1}{2}x^2 * \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{4}x^4

was klar falsch ist.

Viel einfacher kannst du Dein Problem lösen, indem Du x² und die Wurzel zusammenfasst:

x^2 \sqrt x = x^2 * x^\frac{1}{2} = x^{(2+\frac{1}{2})} = x^\frac{5}{2}

was sich einfach integrieren läst:

\int x^\frac{5}{2} = \frac{5}{2}x^\frac{7}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{x^7} =\frac{5}{2}x^3\sqrt{x}

Ich hoffe, ich habe mich nicht vertan. Falls doch: wenn Du das Prinzip verstanden hast, solltest Du es selbst hinbekommen.

LG
Jochen

4

Viel einfacher kannst du Dein Problem lösen, indem Du x² und
die Wurzel zusammenfasst:

War es nicht x und &radic x ?
Also
x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}
\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}
Gruß

hendrik

5

Klar!

Danke.

Hab ja gesagt, dass es sein kann, dass ich irgendwo ein Fehler drinhabe… :smile:

LG
Jochen

6

Hallo und danke für Deine Antwort. Werde sie mir noch heute abend ansehen und hoffe weiterzukommen.

Herzliche Grüsse
Bruno

7

Hallo und danke für Eure Antworten. Werde sie mir noch heute abend ansehen und hoffe weiterzukommen.

Herzliche Grüsse
Bruno

8

moin…

ich denke mal der Integrationsfehler dürfte nun „behoben“ sein :smile:
darum mal noch etwas, was mir aufgefallen ist:

\frac{1}{2}x^\frac {2}{1}* \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} = \frac{2}{6}x^\frac{5}{2}

Nach Potenzgesetzen gilt:
x^nx^m=x^{n+m}

Damit ist das Ergebnis in deinem (wenn auch falschem) Rechenweg:
\frac{1}{2}x^2*\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}= \newline
\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*x^2*x^\frac{3}{2}= \frac{1}{3}x^\frac{7}{2}

Wollte nur noch darauf aufmerksam machen; mit solchen Fehlern kannst du dir schöne Beweise zerhauen :smiley:

mfG