Integrieren

Wissenschaft Physik
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Hmmm…mein Abi ist nun schon ne Weile her und jetzt soll ich im Studium integrieren. Ich häng aber an einer Aufgabe: x*(x hoch 2 +1) hoch 1/2 (ich hoffe das ist zu verstehen). Das Ergebnis hab ich schon mit so nem Superrechner von meinem Freund, nur fehlt mir eben der so wichtige Rechenweg. Ergebnis: (x hoch 2 +1) hoch 3/2 durch 3
Ich erinnere mich dunkel an eine Regel, wenn da irgendwie schon die innere Ableitung steht, dann kann ich das vereinfachen… aber ich komm nicht drauf. Meine Tafelwerke taugen auch nichts. Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Bis dann
Ramona

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Hallo.

ALSO wenn ich den Text richtig interpretiere soll das unbestimmte Integral von SQRT(x*(x²+1)) mit der Partiellen Integration errechnet werden. Kettenregel hiesse „innere Ableitung mal äussere Ableitung“, also unser ‚Monster‘. Unsere Formel lässt sich zudem vereinfachen zu INTEGRAL(SQRT(x^3+x))

Also ich bitte um eine genauere Darstellung, da ich Fehler in der Formulierung vermute…

mfg M.L.

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Also die Formel zum Integrieren war: X*(wurzel aus X²+1)
Das mit der partiellen integration habe ich eben nicht so richtig verstanden. Könnte ich also nur noch das ganze ausmultiplizieren und dan Substitutionsregel anwenden.
Aber wie schon geschrieben, dachte ich es gab da irgendwie ne Regel, wenn ich im Prinzip die innere Ableitung (also X) von wurzel aus X²+1 schon da stehen habe. Aber vielleicht täusche ich mich auch und ich muß es wirklich partiell integrieren. (so ein Mist)

Danke für die schnelle Antwort

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Hallo Ramona,

die Kettenregel lautet:

[f(g(x))]’ = f’(g(x)) g’(x)

Du darfst sie auch mit großem F schreiben…

[F(g(x))]’ = F’(g(x)) g’(x)

…was den Sinn gibt, daß wenn F nun „zufällig“ eine Stammfunktion der Funktion f ist, Du dann das F’ auf der rechten Seite durch f ersetzen kannst:

[F(g(x))]’ = f(g(x)) g’(x)

Diese Gleichung macht auf der ersten Blick eine Aussage über die erste Ableitung von F(g(x)) („die Ableitung von F(g(x)) ist gleich f(g(x)) g’(x)“: witzlos!), aber „andersrum gelesen“ auch eine Aussage über die Stammfunktion einer Funktion der Form f(g(x)) g’(x), nämlich diese:

Jede Funktion der Form f(g(x)) g’(x) hat als Stammfunktion F(g(x)).

Dies ist die von Dir angedeutete

Regel, wenn da irgendwie schon die innere Ableitung steht,
dann kann ich das vereinfachen…

die oft sehr nützlich ist und die Du Dir deshalb merken solltest.

Nun zu Deiner Aufgabe:

x sqrt(x^2 + 1)

hat zwar noch nicht ganz die Form „f(g(x)) g’(x)“, aber eine 2 vor das x hinzukriegen ist kein Problem:

1/2 * 2 x sqrt(x^2 + 1)

Siehst Du, daß „2 x sqrt(x^2 + 1)“ die Form „f(g(x)) g’(x)“ hat, weil 2 x ja die Ableitung von x^2 + 1 ist? Das g(x) ist also gleich x^2 + 1 und das f ist gleich der Wurzelfunktion, also f(x) = sqrt(x).

f(x) = sqrt(x) hat als Stammfunktion 2/3 x^(3/2) und damit bist Du auch schon fertig:

1/2 * 2/3 (x^2 + 1)^(3/2)

oder nach Wegkürzen der 2 vorne:

1/3 (x^2 + 1)^(3/2) ist eine Stammfunkton von x sqrt(x^2 + 1).

Gruß
Martin

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Super! Genau das habe ich gesucht!
Danke schön!