Hallo,
Was bedeutet dies für meinen Fall? 1/ (x^2+x^3) ? Woher weiß
ich, ob sich dies wie Fall 1 oder 2, also endlich oder
unendlich verhält?
das musst Du ausrechnen. Die Partialbruchzerlegung von 1/(x2 + x3) liefert
f(x) = 1/(x2 + x3) = 1/x2 – 1/x + 1/(x + 1)
Die Stammfunktion dazu lasst sich sofort hinschreiben:
F(x) = –1/x – ln(x) + ln(x + 1) für x > 0
= –1/x + ln((x + 1)/x)
= –1/x + ln(1 + 1/x)
Für sehr große x geht 1 + 1/x gegen 1 und somit ln(1 + 1/x) gegen 0. Dann ist F(x) ≈ –1/x und das geht für x → ∞ gegen 0.
Für sehr kleine x ist 1 + 1/x ≈ 1/x; dann ist F(x) ≈ –1/x + ln(1/x) = –1/x - ln(x). Für x → 0 geht –1/x gegen –∞ und ln(x) geht ebenfalls gegen –∞. Die Funktion –1/x geht aber schneller gegen –∞ als die Funktion ln(x). Das kann man sich am Zehnerlogarithmus leicht klarmachen: Für x = 1/1000 ist –1/x = –1000, aber log(x) ist erst –3. Für x = 1/1000000 ist –1/x bereits –1000000, aber log(x) ist erst –6, und so weiter.
Zusammengefasst:
limx → 0 F(x) = –∞
limx → ∞ F(x) = 0
Das bedeutet, dass das „vertikale“ Flächenstück gegen x = 0 hin (nach links begrenzt durch die y-Achse) unendlich groß ist, das „horizontale“ Flächenstück gegen x → ∞ (nach unten begrenzt durch die x-Achse) dagegen endlich groß.
Zieht man die linke Grenze für das horizontale, nach rechts unendlich ausgedehnte Flächenstück bei einem beliebigen x-Wert L > 0, dann kann man seinen Flächeninhalt A als Funktion von L angeben:
A(L) = F(∞) – F(L) = 0 – (–1/L + ln(1 + 1/L)) = 1/L – ln(1 + 1/L)
Für L = 1 ergibt sich A(1) = 1 – ln(2) ≈ 0.30685
Gruß
Martin