Hallo,
nehmen wir als Beispiel die Funktion 2/x². Die Integralfunktion wäre doch -2/x. Wenn man jetzt von -3 bis 4 integrieren will, dann hat man doch ein Problem, dann bei 0 müsste das Integral doch ins Unendliche gehen. Es kommt aber nicht ein unendlich großes Integral raus.
Was muss man also tun?
Anschaulich ist das also klar, dass eine Funktion fürs Integrieren stetig und differenzierbar sein muss.
Kann mir vielleicht noch jemand einen exakten mathematischen Beweis dafür geben?
nehmen wir als Beispiel die Funktion 2/x². Die
Integralfunktion wäre doch -2/x.
wieso „wäre“? „ist“. jedenfalls überall dort, wo die funktion integrierbar ist.
Wenn man jetzt von -3 bis 4
integrieren will, dann hat man doch ein Problem, dann bei 0
müsste das Integral doch ins Unendliche gehen. Es kommt aber
nicht ein unendlich großes Integral raus.
ja; bei x=0 hast du hier ein sog. „uneigentliches integral“; die flächen unter der kurve werden unendlich groß.
deine funktion ist eben nicht (überall) integrierbar. intergrierbar heißt, dass ober- und untersummen in einem gewissen bereich gegen den gleichen (endlichen) wert konvergieren. das ist hier nicht der fall.
Anschaulich ist das also klar, dass eine Funktion fürs
Integrieren stetig und differenzierbar sein muss.
diese anschauung täuscht. es können auch nicht-stetige funktionen durchaus integrierbar sein.
Kann mir vielleicht noch jemand einen exakten mathematischen
Beweis dafür geben?
Anschaulich ist das also klar, dass eine Funktion fürs
Integrieren stetig und differenzierbar sein muss.
diese anschauung täuscht. es können auch nicht-stetige
funktionen durchaus integrierbar sein.
Meinst du da jetzt zusammengesetzte Funktionen? Bei denen ist das mir klar, da muss man jeden Teil extra integrieren.
Kann mir vielleicht noch jemand einen exakten mathematischen
Beweis dafür geben?
wofür?
Dafür, dass eine Funktion, die eine Definitionslücke hat und deshalb nicht stetig und differenzierbar ist, nicht einfach über diese Lücke hinaus integriert werden kann.
Dafür, dass eine Funktion, die eine Definitionslücke hat und
deshalb nicht stetig und differenzierbar ist, nicht einfach
über diese Lücke hinaus integriert werden kann.
du kannst nur sätze beweisen (oder widerlegen), die exakt genug formuliert sind. das ist hier nicht der fall. was soll „nicht einfach“ in deiner formulierung bedeuten? „kompliziert“, „gar nicht“, „nicht immer“, „nie“, „bloß auf umwegen“???
es gibt unstetigkeitsstellen und definitionslücken, die kein problem (beim integrieren) sind und solche, die ein problem sind. es hängt davon ab, ob die riemann-summen konvergieren oder nicht, also ob die funktion integrierbar ist oder nicht. stetige sind integrierbar; manche unstetigen („stückweise stetigen“) auch, manche nicht. die hier von dir vorgelegte funktion ist nicht stückweise stetig, denn an der lücke existieren keine links- und rechtsseitigen grenzwerte.
du kannst nur sätze beweisen (oder widerlegen), die exakt
genug formuliert sind.
Also zum Beispiel, dass eine Funktion auch stetig ist, wenn sie differenzierbar ist.
Könntest du mir bitte kurz das Prinzip erläutern, wie man solche Art von Sätzen beweist?
Also zum Beispiel, dass eine Funktion auch stetig ist, wenn
sie differenzierbar ist.
Könntest du mir bitte kurz das Prinzip erläutern, wie man
solche Art von Sätzen beweist?
jetzt kommen wir aber ziemlich vom beispiel ab, finde ich.
über den zusammenhang von differenzierbar / stetig / integrierbar ist aber in den weiten des internet gutes zu finden.
schau dir die definition von differenzierbar an, dann siehst du, dass differenzierbarkeit stetigkeit bedingt. schau dir die definition von stetigkeit an, dann siehst du, dass stetigkeit integrierbarkeit bedingt.