Interessante Extremwertaufgabe

Wissenschaft Mathematik
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Hallo www-Leute,

ich schicke voraus, dass ich diese Aufgabe gefunden habe und mir auch eine Lösung erarbeitet habe, weiß aber nicht, ob ich richtig liege.
Differential- u. Integralrechnung habe ich mir (10. Schulj. Hauptschule)selbst beigebracht, aber hier komme ich nicht wirklich weiter.

Zur Sache:

Der Eisverkäufer stellt seine Eiswaffeln (Kegel ohne Grundfläche) selbst her. Das Volumen an Eis (gestrichen) beträgt 28,35 cm³.
Nun soll der geringste Waffelverbrauch (Kegelmantelfläche M) ermittelt werden.

V(K)= 1/3 G*h (NB)= 1/3 pi*r²*h
A(M)= pi*r*s (HB)

Die Höhe h des Kegel drücke ich aus als Wurzel aus (s²-r²) und setze dies in die NB ein, wobei s die Mantellinie ist.
Nun konnte ich nach s umstellen und erhielt:

s = Wurzel aus [(732,907/r^4)+r²] was nun in die Zielfunktion eingesetzt wurde. Also nur noch mit pi*r multipliziert werden musste, um die Mantelfläche zu erhalten.

Die Ableitung habe ich online generieren lassen und 0 (Null) gesetzt, so dass ich auf einen Radius von 2,67508 cm kam.
Die Mantellinie ist 4,633 cm und h etwa 3,78 cm.

Somit dürfte die Mantelfläche etwa 38-39 cm² betragen.

Auch den Winkel zu etwa 208° habe ich berechnet, um eine Abwicklung zu erstellen. Mittels Zeichenprogramm und 2D Analyse stimmen die Werte zwar überein,
ich bin mir aber nicht sicher, ob es auch das wirkliche Minimum ist, weil ich am Differenzieren hängengeblieben bin.

Wer ist so nett und befasst sich mal damit und sagt mir, wie ich eine einfachere Lösung finden kann.
Wenn sie denn überhaupt stimmt…
Und wer kann sagen, wie ich diese Aufgabe richtig differenziere?

Danke allen Helfern

LGR

2

Hallo,

der Eiswaffelkegel hat das Volumen

V = \frac{\pi}{3} r^2 h

und die Mantelfläche

M = \pi r \sqrt{h^2 + r^2}

Das r auf der rechten Seite von M = … wollen wir wegbekommen, also drücken wir r über die V-Gleichung durch V aus…

r = \sqrt{\frac{3 V}{\pi h}}

…und ersetzen anschließend das r in der M-Gleichung durch diesen Term:

M = \pi \sqrt{\frac{3 V}{\pi h}} \sqrt{h^2 + \frac{3 V}{\pi h}}

Also ist…

M(h) = \sqrt{3 \pi V} \sqrt{h + \frac{3 V}{\pi h^2}}

…die Mantelfläche-von-Höhe-Funktion bei konstantem Volumen V. Ihre Ableitung nach h…

M’(h) = … \Big(1 - \frac{6 V}{\pi h^3}\Big)

…wird genau dann Null, wenn 6 V / (π h3) gleich 1 ist, also für

h = \sqrt[3]{\frac{6}{\pi}} \sqrt[3]{V}

und daraus den noch fehlenden Kegelradius r auszurechnen überlasse ich Dir. Für ein Einheitsvolumen V = 1 bekomme ich h ≈ 1.2407 und r ≈ 0.8773.

Genaugenommen wollen wir aber wissen, wie spitz oder stumpf die mantelflächenminimalen Kegel sind, d. h. die uns eigentlich interessierende Größe ist der Öffnungswinkel φ = 2 arctan(r/h). Der Quotient r/h resultiert zu 1/2 √2 (nett!), und das bedeutet, dass diese Kegel jene mit dem Öffnungswinkel φ = 70.5° sind. Sie sind also deutlich gedrungener als eine echte Eistüte (geschätzt ca. 30° Öffnungswinkel).

Das Volumen an Eis (gestrichen) beträgt 28,35 cm³.

Zahlenwerte kannst Du gerne selbst einsetzen :smile:

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.

Gruß
Martin

3

Allerherzlichen Dank zunächst.
Bei kurzer Überprüfung passt die Höhe mit ~3,78 schon ganz gut.
Überprüft hast du meine Angaben jedoch nicht, oder?
Es ging ja reinweg um den minimalen Oberflächeninhalt ohne Grundkreis.
Dabei kam ich aber auf einen anderen Öffnungswinkel.
Kann es sein, dass ein kleiner Fehler vorliegt?
Wenn die Höhe passt und der Radius ~2,67 ist, läge der Öffnungswinkel ja bei 70,46° also keine schmale Tüte, sondern eher schon eine Schale.

Wie dem auch sei, ich habe gespannt auf eine Antwort hier gewartet und danke nochmals, weil sie mir sowieso weiterhilft.

Gruß Uwe

4

Hallo Uwe,

ich hab mal das Computer Algebra System Maxima damit gefüttert. Du findest den Input und Output unten angehängt (sollte selbsterklärend sein). Ergebnis: Alle Angaben, die Du gemacht hast, stimmen.

Wenn die Höhe passt und der Radius ~2,67 ist, läge der Öffnungswinkel
ja bei 70,46° also keine schmale Tüte, sondern eher schon eine Schale.

70° sind richtig, das ist aber noch lange keine Schale. Der Vertikalschnitt des gesuchten Kegels ist ein fast gleichseitiges Dreieck (bei 60° statt 70.5° Öffnungswinkel wärs exakt eins). Beachte, dass der Öffnungswinkel NICHT zur Symmetrieachse gemessen wird, sondern „ganz durch“ von einer Seite auf die andere.

Wenn Du willst, nimm ein Blatt Millimeterpapier, markiere in einem Koordinatensystem die drei Punkte (0 | 0), (–2.67 cm, 3.78 cm) und (2.67 cm, 3.78 cm), und verbinde sie. Dann siehst Du das Vertikal-Schnittbild des gesuchten Kegels in Originalgröße. Es ist übrigens eine eher kleine Tüte :smile:

Gruß
Martin

-------------------------------------
numer: true;
deg: %pi/180;
V: 28.35;
h: (6\*V/%pi)^(1/3);
r: (3\*V/(%pi\*h))^(1/2);
r/h;
s: (h^2 + r^2)^(1/2);
M: %pi\*r\*s;
phi: 2\*atan(r/h)/deg;
alpha: 2\*%pi\*(r/s)/deg;

(%o1) true
(%o2) 0.017453292519943
(%o3) 28.35
(%o4) 3.783131873390737
(%o5) 2.675078201797557
(%o6) 0.70710678118655
(%o7) 4.633371359733359
(%o8) 38.93888083042201
(%o9) 70.52877936550931
(%o10) 207.8460969082653
5

Danke dir für die Mühe.
Dann habe ich auch alles richtig gemacht, denn meine Ergebnisse stimmen mit deinen 100% überein.

Das einzige Problem war halt das ableiten, was ich immer noch nicht beantwortet habe. Und weil mir das fehlt, kann ich mit der zweiten Ableitung auch nicht bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.

Danke
LGR

6

Das einzige Problem war halt das ableiten, was ich immer noch
nicht beantwortet habe. Und weil mir das fehlt, kann ich mit
der zweiten Ableitung auch nicht bestimmen, ob es sich um ein
Minimum oder Maximum handelt.

Das Ableiten ist easy. Laut Deinem ersten Posting hast Du als M®-Funktion bekommen

M® = \pi r \sqrt{\frac{c}{r^4} + r^2}

mit c = 732.907. Ich multipliziere das r in die Wurzel, damit der Ausdruck etwas ableitungsfreundlicher wird:

M® = \pi \sqrt{c r^{-2} + r^4}

Die Ableitung davon ist nach der Kettenregel

M’® = \pi \frac{1}{2 \sqrt{c r^{-2} + r^4}} \big(-2 c r^{-3} + 4 r^3\big)

Das wird Null genau dann, wenn

-2 c r^{-3} + 4 r^3 = 0

also

-c + 2 r^6 = 0

also

r = \sqrt[6]{\frac{c}{2}}

und wenn Du das für c = 732.907 auswertest, kommt r = 2.6750… heraus.

Sind alle Lücken damit gefüllt?

Gruß
Martin

PS: Dass M an dieser Stelle nur minimal und nicht maximal sein kann, ist anschaulich klar. Daher darf man sich den strengen Nachweis über die zweite Ableitung problemlos schenken :smile:

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Allerbesten Dank.
Werde mich nun eingehend damit beschäftigen.
LG Uwe