Intergralrechnung-Problem mit Intervall -.-

Wissenschaft Mathematik
1

halli hallo

ich denke, dass es bestimmt welche unter uns gibt, die ein Auge für Mathe haben was das thema Integralrechnung angeht.

Und zwar bin ich bei der folgenden Aufgabe ein wenig unsicher und weiss nicht, ob mein Ergebnis stimmt.

Die Funktion lautet: f(x)=3/2 (x-1/2)^2-3,375
(keine Ahnung, ob ich dass so richtig hingeschrieben habe deshalb nochmal in Worten)
dreihalbe (x minus einhalb) hoch zwei minus 3,375

Gesucht ist bei der Aufgabe die Intervallgrenze, die ich mit der pq formel immer ermittelt habe.
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meine Vorgehensweise:
ich habe den Teil in Klammern mithilfe der binomischen formel ausgerechnet und habe als ergebnis:

x^2-1x+1/4 --> stimmt das?
dann habe ich es mal 3/2 genommen und habe
3/2x^2-3/2x-13/8 --> ist der Ansatz richtig?

mithilfe der pq formel habe ich die Werte 33/20 und 13/20 raus, dies wären eigentlich die intervallgrenze oder?

Stimmt das so? wenn nicht könntet ihr mir helfen und sagen, was ich falsch gemacht habe?

Lieben lieben dank schon mal im Voraus. :smiley:

2

moin;

wenn ich davon ausgehen darf, dass du die Fläche unter dem Graphen berechnen sollst (Also zwischen Graph und x-Achse), ist dein Ansatz, die Nullstellen zu berechnen, richtig, dies ist jedoch nicht immer so.

Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen der Funktion
f(x)=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-3,375

Dies ist eine quadratische Funktion, darum können die Nullstellen mithilfe der pq-Formel berechnet werden, dafür müssen wir die Funktion aber auf die richtige Form bringen:
0=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-3,375
0=\frac{3}{2}\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-3,375
0=\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{8}-3,375

Jetzt zusammenfassen:
0=\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x-3

Nun ist zu beachten, dass die pq-Formel nur dann angewendet werden darf, wenn der Faktor vor x² (wird normalerweise mit a bezeichnet) 1 ist, also durch 1,5 teilen:

0=x^2-x-2

Mit der pq-Formel bekomme ich Nullstellen (also auch Integrationsgrenzen) von -1 und 2.

Dein Fehler war wahrscheinlich beim Faktor vor dem x², ansonsten ist der Ansatz bei dieser speziellen Aufgabenstellung richtig.

mfG

3

Hallo!

Dass man über beliebige Intervallgrenzen integrieren kann und dass es deshalb unerlässlich ist, die Aufgabenstellung (wahrscheinlich: „Berechne die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt!“) zu kennen, um zu bestätigen, dass Dein Vorgehen prinzipiell richtig ist, - das hat Dir ja DevilSuichiro bereits geschrieben.

Was ich jedoch nicht verstehe, ist, wieso Ihr beide derart umständlich die Nullstellen der Funktion bestimmt.

Vergiss doch bitte mal für einen Moment diese blöde p-q-Formel! Die braucht eigentlich nur ein Computerprogramm, weil das nicht denken kann, sondern nur rechnen.

Du willst

\frac{3}{2} \left(x-\frac{1}{2}\right)^2-3{,}375=0

lösen, also nach x umstellen. Nun haben wir ja alle einmal Termumformungen gelernt und wissen (so prinzipiell), wie man an x rankommt: Alle Zahlen auf eine Seite, das x bleibt dann übrig. Ich denke, dass der erste Schritt „+3,375 auf beiden Seiten“ ist, das sieht der sprichwörtliche Blinde mit Krückstock. Dann haben wir

\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=3{,}375.

Okay. Stört noch der Faktor 3/2, der sich ja noch leicht auf die Seite
mit den Zahlen bringen lässt: Wir multiplizieren einfach mit 2/3. Dann steht da

\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=2{,}25=\frac{9}{4}.

(Gut, die 9/4 kann man sehen, muss man aber nicht. Zur Not macht der Taschenrechner alles Weitere.)
Okay, jetzt stört das Quadrat, um ans x ranzukommen. Wie kriegt man ein Quadrat weg? - - - Richtig, Wurzel ziehen!

x-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}.

Achtung: Hier liegt die Hauptfehlerquelle! Es gibt immer zwei Wurzeln!
(Hier offenbart sich übrigens der Vorteil von Brüchen: Man kann im Zähler und Nenner separat die Wurzel ziehen, und sowohl die Wurzel aus 9 als auch die Wurzel aus 4 sollten kein Problem sein; während man die Wurzel aus 2,25 schon ein paarmal gezogen haben muss - oder Quadratzahlen bis 15² auswendig kennen -, bevor man erkennt, dass da 1,5 rauskommt.)

So, und nun hast Du ja gar kein Problem mehr: Addierst noch das 1/2 und bist fertig!

x=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}=\begin{cases}2&\mbox{bei }+\-1&\mbox{bei }-\end{cases}

Und hast dabei das lästige Ausmultiplizieren (wo Dir ja auch noch ein Fehler unterlaufen war) und die blöde p-q-Formel umgangen!

Liebe Grüße
Immo