Interne Kommunikation über externe Mailbox

Hallöchen zusammen,

Ich arbeite bei einem Dienstleistungsunternehmen (keine Zeitarbeit).
Bei einem unserer Kunden stößt mir etwas sauer auf:

Jegliche Form der Kommunikation soll per Mail über eine Mailbox des Kunden laufen, statt über die meiner Firma.
Hier sei zu verstehen daß es sich nicht nur um banalen Plausch handelt sondern auch Krankmeldungen (eigene Person oder Kind), Urlaub, Pass-/Führerscheinkontrollen etc.

Hinter dieser externen Mailbox stecken, laut Aussage dieser, 4 Kollegen aus der Projektleitung meiner Firma, die selben wie auch hinter der Mailbox auf interner Seite.

Nun bestehen eben diese Projektleiter darauf daß nur die mbox des Kunden benutzt wird, sie akzeptieren keine anrufe, keine Mails an ihre Adressen auf interner Seite und keine Mails an die interne Mailbox.
Es wurde auch schon gesagt man sollte sich diese externe mbox auf den Handys speichern und zur not von privat dort hin schreiben wenn man gerade keinen Zugang zum Firmenhandy oder -laptop hat.

Muss ich daß so akzeptieren?
Ich sehe hier nämlich ein paar Probleme.

A) die externe Adresse kann ich, ohne diese extra in Outlook oder auf meinem Handy abzuspeichern, nicht im adressverzeichnis meiner Firma finden

B) Ich wüsste nicht warum meine Daten (bspw Krankmeldungen, Ausweiskontrollen, Anträge/Formulare, …) Auf den Servern einer externen Firma liegen sollten

C) Mails können nicht verschlüsselt an den Kunden übertragen werden da unsere Firma auf S/MIME setzt, der Kunde auf PGP

D) selbst wenn man nur kurz etwas melden möchte (Verspätung durch Stau/Unfall) oder man gerade keinen Zugang zum Firmenhandy oder -laptop hat soll man verpflichtend dort hin schreiben

Ist das trotzdem legitim? Oder schon ein Fall für den Betriebsrat?

Mfg
Sierra