Hallo an alle Experten für theoretische Elektrotechnik oder
Nachrichtentechnik,
Ich habe folgendes Problem : Ich benötige ( am besten mit
Herleitung und/oder der zugehörigen Fourierreihenentwicklung )
das komplexe Frequenzamplitudenspektrum eines Analogsignals,
das mit Hilfe eines Abtast-Haltegliedes nullter Ordnung aus
diskreten Abtastwerten synthetisiert wurde.
Mir ist noch nicht ganz klar, was Du willst. Das i.a. komplexe
Spektrum enthält Phasengang und Amplitudenspektrum. Diese
beiden sind aber reell. Du möchtest vermutlich das
Amplitudenspektrum ermitteln.
Nein. Ich meine das komplexe Amplitudenspektrum, bei dem das Spektrum mit positiven und negativen Frequenzparametern dargestellt wird. Negative Frequenzen kann es logischerweise nicht ohne die Verwendung einer komplexen Darstellungsform geben. Das „normale“ reellwertige Spektrum ist einfach nur eine andere aber äquivalente Darstellungsform. Die Spektralkoeffizienten der Amplituden-Phasen-Form lassen sich in die komplexen Fourierkoeffizienten des komplexen Amplitudenspektrum umrechnen.
Ein Abtast-Haltegleid wird i.d.R. genutzt, um das Signal
während des digitalisierens konstant zu halten. D.h. es ist
(nach evtl. Pegelanpassung und TP-Filterung zur
Bandbegrenzung) die erste Stufe der Diskretisierung. Wenn
bereits diskrete Werte vorliegen, macht ein S&H keinen Sinn,
oder verstehe ich das alles falsch?
Das war fehlerhaft ausgedrückt. Ein idealer D/A-Wandler sollte die zu wandelnden Werte als einen gewichteten Dirac-Impulszug ausgeben. Reale D/A-Wandler geben jedoch ( logischerweise ) keine Dirac-Impulse ab, sondern erzeugen eine „Treppenfunktion“. Dies geschieht formell dadurch, daß das Ausgangssignal des formell angenommenen idealen D/A-Wandler „im“ realen D/A-Wandler durch ein ebenfalls integriertes Halteglied ( Sorry - ich hatte Abtast-Halteglied-geschrieben. Das war falsch ) nullter Ordnung geleitet wird. Zusammen ergeben diese beiden Elemente dann die Funktion des realen D/A-Wandlers, der dann keinen Dirac-Impulszug ausgibt, sondern eben eine Treppenfunktion. Also im Grunde eine Überlagerung vieler, vieler Rechteckimpulse, die zeitlich gegeneinander um jeweils die Abtastzeit versetzt sind.
Also ( etwas einfacher ausgedrückt ) : Ich brauche das
komplexe Frequenzamplitudenspektrum eines Signals, das mit
hilfe z.B. eines D/A-Wandlers aus digitalen Abtastwerten mit
einer konstanten Samplingfrequenz erzeugt wurde.
Das Amplitudenspektrum ist zwar noch immer nicht komplex, aber
ich verstehe, was Du willst. Dann nimmst Du Dir einfach das
Signal (Zeitfunktion) und machst eine Fouriertransformation.
Dadurch erhälst Du die komplexe Spektralfunktion, deren Betrag
Dich so sehr interessiert.
Einfach ?!? Naja. Es ging mir eigentlich darum, mir die Arbeit für diese Fouriertransformation zu sparen…
Wie gesagt : Das resultierende Signal im Zeitbereich ist eine Überlagerung von einzelnen Rechteckimpulsen mit einer bestimmten Gewichtung, die dem Wert des jeweiligen Sample entspricht. Um eine Fouriertransformation durchzuführen, muss ich das Signal erstmal darstellen. Und diese Darstellung ist für sich schon eine Reihenentwicklung. Und diese Reihenentwicklung dann zu transformieren ist eine Schweinearbeit, die ich mir eigentlich einsparen wollte… Dafür sind doch eigentlich Tabellenwerke u.ä. da. Leider habe ich jedoch in den Tabellenwerken, die ich so greifbar habe, nix gefunden. Deswegen die Anfrage hier bei WWW.
Ich würde aber viel lieber das digitalisierte Signal mit einer
FFT untersuchen, das geht erheblich einfacher und macht die
Digitalisierung so verlockend.
Ich brauche aber keinen „kleinen numerischen Test“, ob es so in etwa hinkommt, sondern eine saubere analytische Herleitung. Ich muss einige Filter dimensionieren und evtl. Parameter optimieren, was ich nur kann, wenn ich eine analytische Darstellung der Verhältnisse habe.
Das Signal darf hierbei allgemein als periodisches Signal mit
einer Bandbreite B angenommen werden. Die Samplingfrequenz
soll höher als die doppelte Bandbreite sein, also
Aliasingeffekte nicht berücksichtigt werden.
Hmmm … vielleicht will der Fragesteller darauf hinaus, das
bei der Digitalisierung das Spektrum des Eingangssignals
periodisch fortgesetzt wird? Über ein Rekonstruktions-TP wird
dann wieder das benötigte Spektrum herausgefischt.
Das ist schon klar. Der Fragesteller will vielmehr darauf hinaus, dass die zusätzlichen Spektren von Summen- und Differenzfrequenzen um die ganzzahligen Vielfachen der Abtastfrequenz herum zwar periodisch fortgesetzt werden, jedoch die Amplituden trotzdem mit zunehmender Ordnungszahl abnehmen. Bei einer idealen D/A-Wandlung mit Diracstoßzügen passiert das nicht. Da wird jedes Spektrum mit der gleichen Amplitude wie das Originalspektrum auftreten. Bei der nicht-idealen D/A-Wandlung in eine Treppenfunktion ( durch das Halteglied nullter Ordnung ) wird jedoch mit zunehmender Ordnungszahl eine Dämpfung der Spektren auftreten.
Wie stark diese Dämpfung ist, wird von einigen Parametern abhängen. Von welchen Parametern und wie stark bei welcher Ordnung, könnte ich aus einer analytischen Herleitung und Darstellung der Koeffizienten der Spektren ersehen. Deswegen hilft mir auch eine numerische Berechnung mithilfe einer FFT nicht weiter.
Ich habe keine Ahnung, was Du suchst. Aber ein sehr schönes,
verständliches Buch zu dem Thema ist „Understanding Digital
Signal Processing“ von Richard G. Lyons. Sollte in jeder
Uni-Bibliothek zu haben sein.
Ich werde mir das Buch mal ansehen. Aber vielleicht kannst Du mir ja ( nach der etwas erweiterten Spezifizierung, was ich brauche ) schon vorab sagen, ob das was ich suche drin ist, wenn Du direkt Zugriff auf das Buch hast ? Ich habe mir zu dem Thema schon mehrere Bücher aus der Unibibliothek ausgeliehen, aber ich habe den Eindruck, dass dieses Thema irgendwie zu einem Grenzgebiet gehört, weil so manches Mal in den Büchern über dieses Thema etwas angedeutet, aber nicht zu Ende erläutert wird - mathematisch detailliert zumindest. Liegt vielleicht daran, daß es eigentlich schon in die analoge Post-DAC-Signalverarbeitung gehört, aber trotzdem auch noch zur „echten“ Digitalsignalverarbeitung. So wird es wohl weder in den Büchern zu dem einen, noch zum anderen Thema erschöpfend behandelt…
Gruß
Fritze
Ebenfalls Gruss und soweit mal danke für die - bisher einzige 
- Antwort,
Jürgen
