Interpolation: Newton-Polynome

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo;

ich bin bei einer Aufgabe angekommen, bei der ich nicht weiterkomme.

Es geht um die Interpolation von Funktionen mithilfe der Newton-Polynome, genauer gesagt die dividierten Differenzen, die bei der Berechnung der Koeffizienten verwendet werden.

Ich soll zeigen, dass bei den Stützpunkten (x1,y1),…, (xn,yn)
die Gleichung

[y_0,\dots,y_n]=\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{\prod \limits_{j=0,j\neq i}^n(x_i-x_j)}

gilt.

Ich habe gedacht, dass ich das durch vollständige Induktion lösen kann, da die dividierten Differenzen ja rekursiv über
[y_i,\dots,y_{j+i}]:=\frac{[y_{j+1},\dots,y_{j+i}]-[y_j,\dots,y_{j+i-1}]}{x_{j+i}-x_j},\ [y_i]:=y_i
definiert sind, aber dann bekomme ich im Induktionsschritt die Terme [y1,…,yn+1], mit denen ich nicht weiter arbeiten kann.

Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man diese Gleichung sonst beweisen kann? Ich wäre hier (so glaube ich) am Ende meines Lateins angelangt.

mfG

#2

Hi,

die Induktion funktioniert anders herum. Du fängst bei n=1 an, wo die Formel offensichtlich richtig ist, und rechnest dann mit allgemeinem n die Richtigkeit in Länge n aus der Richtigkeit der Länge n-1 aus.

Ciao Lutz

#3

Hallo;

aber dann komme ich doch auf das gleiche Problem? Wenn ich für [Indizes 0…n] oder [Indizes 1…n bzw. n-1] den Induktionsanfang mache, dann fehlt mir in der Behauptung das jeweils andere für die schlüssige Auflösung der Rekursion.
Oder übersehe ich da etwas gravierendes?

mfG

#4

Du kannst doch 1…n auf 0…n-1 umnummerieren. Nenne die Variablen dann u statt x, wenn das reine Umnummerieren zu verwirrend ist,…

Gruß, Lutz

#5

Hallo;

wir haben die Aufgabe heute in der Uni besprochen, und genau das war der Trick. Mir wollte nur nicht einleuchten, dass Indizes 0…n-1 auf 1…n „ummünzen“ kann und das dann auch das gleiche ist.
Also dankeschön, war genau richtig :smile:

mfG