Interpolationsformel von Lagrange

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo leute, ich soll eine Aufgabe mithilfe der Interpolationsformel von Lagrange berechnen. Nur leider habe ich absolut keine Ahnung wie genau ich das anstellen soll. Erstmal zur Aufgabe:

Berechnen sie das Polynom p(x) mit p(a_{i})=b_{i} für die Eingabewerte a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=3 un den Ausgabewerten b_{1}=5, b_{2}=3, b_{3}=4 mit a_{i},b_{i} \in Z_{7} und i=1,…,3.

Ich weiß nicht wie ich anfangen soll und was überhaupt wohin gehört. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal im Vorraus =)

lg

#2

Berechnen sie das Polynom p(x) mit p(a_{i})=b_{i}
für die Eingabewerte a_{1}=1, a_{2}=2,
a_{3}=3 un den Ausgabewerten b_{1}=5, b_{2}=3, b_{3}=4 mit a_{i},b_{i} \in Z_{7} und i=1,…,3.

Hallo,

ich vermute du sollst das Polynom 2ten Grades berechnen das durch die Punkte

P_1(a_1\mid b_1),\ P_2(a_2\mid b_2),\ P_3(a_3\mid b_3)

geht. Davon gibt es genau eins, und die Lagrangeinterpolation ist ein Weg dieses Polynom zu berechnen. In diesem Fall ergibt sich

p(x)=b_1\frac{x-a_2}{a_1-a_2}\frac{x-a_3}{a_1-a_3}+b_2\frac{x-a_1}{a_2-a_1}\frac{x-a_3}{a_2-a_3}+b_3\frac{x-a_1}{a_3-a_1}\frac{x-a_2}{a_3-a_2}

Das ist ein Polynom 2ten Grades, denn jeder Summand ist vom Grad 2.
Wenn du z.B. a1 in p einsetzt, siehst du, dass die letzten beiden Summanden wegfallen, und der erste einfach b1 ergibt, so wie man das haben will, denn das bedeutet ja p(a1)=b1
Das gleiche passiert wenn du a2 oder a3 einsetzt.
p ist also das gesuchte Polynom, das musst du jetzt nur noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Gruß

hendrik

#3

Cool das is die perfekte Erklärung die ich gesucht habe =)
Fettes dankeschön!

D