Interpolationsproblem

Wissenschaft Physik
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Hallo an alle Experten!

Habe ein Problem mit der Interpolation. Ich habe zB 10 Stützstellen einer Messreihe (ergibt meistens nur eine schwach gekrümmte Gerade) vorliegen und möchte nun die Koeffizienten zu einem Polynom 3.Grades errechnen. Wenn möglich am liebsten mit einem kleinen Program. Excel hilft mir da nicht weiter, weil ich nicht das Ergebnis brauche, sondern an den Weg dahin interessiert bin.
Selbst langwieriges googlen brachte da nichts brauchbares zutage.

Wer kann mir helfen?

Österliche Grüße
ein unwissender…

2

Auch hallo.

Hallo an alle Experten!

Habe ein Problem mit der Interpolation. Ich habe zB 10
Stützstellen einer Messreihe (ergibt meistens nur eine schwach
gekrümmte Gerade) vorliegen und möchte nun die Koeffizienten
zu einem Polynom 3.Grades errechnen.

Ein Stichwort wäre z.B. die Gauss-Approximation. Oder ‚Kleinste Quadrate Schätzung‘: http://www.reiter1.com/Glossar/OLS.htm
Entsprechend der Anforderung ist mit einer 4x4-Matrix zu rechnen.

HTH
mfg M.L.

3

eine schwach gekrümmte Gerade

habe ich noch nicht gesehen :wink:)

Habe ein Problem mit der Interpolation.

Was du möchtest, ist keine Interpolation. Bei der Interpolation wird eine Funktion gesucht, die alle 10 Punkte der Messreihe verbindet, das schafft z.B. ein Polynom 9. Grades. Was du suchst, ist aber

ein Polynom 3.Grades

so zu bestimmen, dass es sich möglichst gut in die Punkte der Messreihe „einpasst“. Das ist ein Problem der Ausgleichsrechnung, für die die Methode der kleinsten Fehlerquadrate (von C. F. Gauß) das bekannteste Verfahren ist. Wenn du aber schon weißt, dass die Lösung nicht wesentlich von einer Geraden abweicht, könntest du zur Vereinfachung der Rechnung erst einmal mit einer Ausgleichsgeraden rechnen.

http://docs.sfz-bw.de/phag/skripte/fehler.pdf Seite 5

Gruß, multze

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Hallo Anonymus!?
Das läßt sich aber mit Excel sehr schön machen. Vor allem deswegen weil man direkt die Zusammenhänge sieht.
Schreibe Deine Meßwerte in eine Spalte und bilde in der nebenstehenden Spalte die Schrittdifferenz, so oft bis die Differenzen Null werden. In der vorletzten Spalte, mit den konstanten Differenzen gilt dann a mal x hoch Null. Die Parameter lassen sich aus den Spalten auch leicht bestimmen. Wenn die Schritte bezogen auf x nicht äquidistant sind muss man gegebenenfalls noch auf x normieren.
Mach einen Test mit den Quadratzahlen von 1 bis 10.
Du erhälst:
x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
y=0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
1.Dif.=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
2.Dif.=2,2,2,2,2,2,2,2,2
3.Diff.=0,0,0,0,0,0,0,0
Mit freundlichen Grüßen
Alexanedr Berresheim

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Hallo Anonymus!?
Das läßt sich aber mit Excel sehr schön machen. Vor allem
deswegen weil man direkt die Zusammenhänge sieht.
Schreibe Deine Meßwerte in eine Spalte und bilde in der
nebenstehenden Spalte die Schrittdifferenz, so oft bis die
Differenzen Null werden.

Bei meinen Meßwerten werden die Differenzen nie Null. Klappt das nur bei ganz bestimmten Zahlenfolgen??

In der vorletzten Spalte, mit den
konstanten Differenzen gilt dann a mal x hoch Null. Die
Parameter lassen sich aus den Spalten auch leicht bestimmen.

Selbst mit ABS() wirds niemals NULL:

Wenn die Schritte bezogen auf x nicht äquidistant sind muss
man gegebenenfalls noch auf x normieren.
Mach einen Test mit den Quadratzahlen von 1 bis 10.
Du erhälst:
x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
y=0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
1.Dif.=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
2.Dif.=2,2,2,2,2,2,2,2,2
3.Diff.=0,0,0,0,0,0,0,0
Mit freundlichen Grüßen
Alexanedr Berresheim

Hast du da noch ein Fehler in diesem Verfahren??

Grüsse
Ingo

6

Hallo Ingo.

Bei meinen Meßwerten werden die Differenzen nie Null. Klappt
das nur bei ganz bestimmten Zahlenfolgen??

In der Praxis streuen die Werte und sind mit verschiedenen Fehlern behaftet. Dadurch werden sie nie ganz Null. Aber man erkennt bei den Reihen ziemlich gut die lineare heraus, und das ist die vorletzte.
Bei gekrümmten Strecken funktioniert das bei mir sehr schön. In Excel kannst Du die Differenzreihen ganz einfach als Diagramm darstellen und deren Verlauf betrachten. Da siehst Du die Krümmumgen am besten.

Mit freundlichen Grüßen
Alexanedr Berresheim

7

Hallo Alexander,
Also bei mir will das nicht so richtig klappen oder ich wende dein Verfahren nicht richtig an.
Du kannst ja mal selber sehen welche Koeffizienten du bei der folgenden Reihe errechnest.
x=0,2,4,6,8,10
y=0,96,189,282,373,461
Bin sehr auf deine Lösung gespannt!!

Grüsse
Ingo

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo Alexander,
Also bei mir will das nicht so richtig klappen oder ich wende
dein Verfahren nicht richtig an.
Du kannst ja mal selber sehen welche Koeffizienten du bei der
folgenden Reihe errechnest.
x=0,2,4,6,8,10
y=0,96,189,282,373,461
Bin sehr auf deine Lösung gespannt!!

Hallo Ingo
Bei mir kommt da eine lineare Funktion raus nach der Formel:
y = ax +C
mit den Parametern a ~ 46.13 und C ~ 2,86
Die erste Differenzenreihe ist schon konstant und die zweite fast Null.
Ein Kontrolldiagramm zeigt: Deine Messreihe ist linear, die erste Differenz ist eine Gerade bei im Mittel etwa 93 und die zweite ist eine Gerade bei fast Null. Da die erste Differenz für 2x gilt ist a demnach etwa 92/2 = 46.5
Etwas optimieren brachte mich dann auf 46,13
Die Kontrollrechnung ergibt dann eine Parallele zu der Messreihe. Der Abstand beider ist C!
Also weder ‚leicht gekrümmte gerade‘ (die es so wie so nicht gibt!), noch irgendwas mit 3. Ordnung.

Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim