Inverse berechnen?

Vicky_d5a4c2 · 20. Februar 2007 um 16:51

Hallo liebe Matheexperten,

ich übe gerade das invertieren von Matrizen und habe da eine Frage.
Ich verrechne mich oft,wenn ich das Verfahren mit der Einheitsmatrix anwende.

Nun habe ich eine andere Rechentechnik gefunden (bei der auch die richtigen Lösungen raus kommen)

http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix das wäre hier die Formel für die 3x3 Matrix mit Hilfe der Buchstabenmatrix.

Nun ist meine Frage, ob es soetwas auch für 4x4 Matrizen gibt? Oder ob es eine bestimmte Anordnung gibt welche Nullen ich zuerst produziere, damit ich auf die richtige Lösung komme? Denn da hapert es meistens.

Liebe Grüße und schon mal vielen Dank von der sich fragenden Vicky

M_L_ · 20. Februar 2007 um 17:21

Auch hallo.

Nun ist meine Frage, ob es soetwas auch für 4x4 Matrizen gibt?

Ja, das gezeigte Manöver geht auch im 4x4 Fall.
Alternativ errechnet man zuerst die Determinante der Originalmatrix. Um eine mögliche Inverse zu erhalten, werden dann die Elemente der Hauptdiagonale zyklisch vertauscht, die restlichen Elemente *(-1) genommen und mit 1/Det(Originalmatrix) multipliziert.

HTH
mfg M.L.

lina_ff26a1 · 20. Februar 2007 um 17:54

Auch hallo.

Nun ist meine Frage, ob es soetwas auch für 4x4 Matrizen gibt?

Ja, das gezeigte Manöver geht auch im 4x4 Fall.

Das geht fuer jede quadratische Matrix. Dieses Verfahren zeigt Dir auch, ob die urspruengliche Matrix invertierbar ist.

Alternativ errechnet man zuerst die Determinante der
Originalmatrix. Um eine mögliche Inverse zu erhalten,

Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist eindeutig.

werden
dann die Elemente der Hauptdiagonale zyklisch vertauscht, die
restlichen Elemente *(-1) genommen und mit
1/Det(Originalmatrix) multipliziert.

Fuer invertierbare 2x2-Matrizen stimmt das, sonst kann man das (ausser in Spezialfaellen) nicht so machen. Ein Beispiel, bei dem das nicht funktioniert, ist die 3x3-Matrix mit Einsen auf der Nebendiagonalen und sonst nur Nullen (also mit Einsen auf der Diagonalen von rechts oben nach links unten). Diese Matrix ist selbstinvers. Das oben beschriebene Verfahren mit dem zyklischen vertauschen liefert eine Matrix, die nicht einmal invertierbar ist.

Gruesse, Lina.

HTH
mfg M.L.

Vicky_d5a4c2 · 20. Februar 2007 um 18:38

Ich danke euch schon mal für die Antworten.

Also ist es jetzt so, dass mir nur das Ausschöpfverfahren bleibt, um eine 4x4 Matrix zu invertieren?

Und wenn ja welche Reihenfolge ist da am klügsten? Erst alle Zahlen links unter der Hauptdiagonalen und dann oben weiter machen oder ist das tendenziell egal?

Liebe Grüße von Vicky

lina_ff26a1 · 20. Februar 2007 um 21:55

Ich danke euch schon mal für die Antworten.

Also ist es jetzt so, dass mir nur das Ausschöpfverfahren
bleibt, um eine 4x4 Matrix zu invertieren?

Meinst Du das Verfahren, das auf Wikipedia Gauss-Jordan-Algorithmus heisst?

Du hattest doch geschrieben, dass Du gerade Matrizen invertieren uebst. Wie hast Du das denn bisher gemacht?

Es gibt noch ein anderes Verfahren, das auf Wikipedia ein bisschen weiter unten beschrieben ist. Stichwort ist hier „Cramersche Regel“. Dazu muss man haufenweise Determinanten ausrechnen. Angenommen, wir wollen die
n x n-Matrix A=(a_ij) invertieren (die Schreibweise ist Dir gelaeufig?). Als erstes berechnest Du det(A). Falls det(A)=0, dann kannst Du aufhoeren, weil dann die Matrix A nicht invertierbar ist.
Andernfalls musst Du die sogenannte adjunkte Matrix ausrechnen; in Buechern wird sie oft mit „A Schlange“ bezeichnet; ich nenne sie aus typographischen Gruenden hier lieber B=(b_ij). Ihre Eintraege sind
b_ij = (-1)^(i+j) det(A_ji), wobei A_ji die (n-1) x (n-1)-Matrix ist, die entsteht, wenn man in der Matrix A die j-te Zeile und die i-te Spalte streicht. Die Inverse von A ist dann (det(A))^(-1)B.
Wenn Du Dir das fuer den Spezialfall einer 2x2-Matrix mal aufschreibst, dann erhaeltst Du das Verfahren, das M.L. beschrieben hat.

Und wenn ja welche Reihenfolge ist da am klügsten? Erst alle
Zahlen links unter der Hauptdiagonalen und dann oben weiter
machen oder ist das tendenziell egal?

So, wie Du es beim Gaussverfahren auch machst. Es gibt ein Rezept, das immer funktioniert, aber nicht immer das schnellste ist.
Wenn die Matrix invertierbar ist, dann gibt es mindestens eine Zeile, in der der Eintrag in der ersten Spalte nicht null ist. Diese bringst Du durch Zeilenvertauschung in die erste Zeile. Du kannst diese Zeile jetzt gleich so multiplizieren, dass der erste Eintrag gleich eins ist, Du kannst diese Normierung aber auch erst spaeter durchfuehren.
Mit Hilfe dieser Zeile kannst Du jetzt die erste Spalte ausraeumen, so dass in allen Zeile bis auf der ersten in der ersten Spalte nur noch Nullen stehen. So geht das weiter: Wenn die Matrix invertierbar ist, dann muss in einer der Zeilen 2,3, …, n der Eintrag in der zweiten Spalte von Null verschieden sein. Die bringst Du mittels Zeilenvertauschung in die zweite Zeile, normierst und raeumst die zweite Spalte aus.
Irgendwann hast Du eine Matrix, bei der in der Diagonalen nur noch Einsen stehen, links unterhalb der Diagonalen sind nur noch Nullen, und rechts oberhalb der Diagonalen steht noch irgendwas. Das raeumst Du jetzt noch aus. Dazu faengst Du ganz rechts an. Du benutzt die letzte Zeile (in der bis auf den allerletzten Eintrag alle Eintraege Null sind) um die letzte Spalte auszuraeumen. Dann benutzt Du die vorletzte Zeile, in der jetzt auch nur noch eine Eins und sonst nur noch Nullen stehen, um die vorletzte Spalte auszuraeumen, usw. Ganz am Ende hast Du dann die Einheitsmatrix dastehen.

Liebe Grüße von Vicky