Hi!
Wie bilde ich eigentlich das Inverse zu einem Bruch in einem Restklassenkörper? Kann mir einer anhand eines Beispiels erklären wie das geht? Nehmen wir z. B. als Bruch 3/4 und als Resklassenkörper Z7.
Danke im Voraus!
Hallo,
Wie bilde ich eigentlich das Inverse zu einem Bruch in einem
Restklassenkörper?
Sofern der Körper nullteilerfrei ist wie sonst auch.
Kann mir einer anhand eines Beispiels
erklären wie das geht? Nehmen wir z. B. als Bruch 3/4 und als
Resklassenkörper Z7.
(3/4)-1 == 4/3.
Zur Kontrolle:
4/3 * 3/4 == 7/7 == 1 MOD 7
Oder habe ich jetzt irgendwelche Komplexitäten übersehen?
Grüße,
Moritz
(3/4)-1 == 4/3.
Zur Kontrolle:
4/3 * 3/4 == 7/7 == 1 MOD 7Oder habe ich jetzt irgendwelche Komplexitäten übersehen?
ich betrachte aber den Restklassenkörper der ganzen Zahlen, d. h. es gibt keine Brüche, oder sehe ich da jetzt etwas falsch?
mfg
Dark_Rider
Hallo Dark Rider!
Wie bilde ich eigentlich das Inverse zu einem Bruch in einem
Restklassenkörper? Kann mir einer anhand eines Beispiels
erklären wie das geht? Nehmen wir z. B. als Bruch 3/4 und als
Resklassenkörper Z7.
Zunächst einmal solltest Du diesen Bruch in eine ganzzahlige Darstellung umwandeln:
(3/4) = 3 * 4-1
Du musst jetzt das Inverse zu 4 (modulo 7) berechnen. Schau mal hier in dem Wikipedia-Artikel und besonders unter dem dortigen Link zum euklidischen Algorithmus:
http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe
Mit dem Algorithmus kannst Du die inversen Elemente in einem Restklassenring bestimmen.
In unserem Beispiel müßte 2 herauskommen, denn 4 * 2 = 8 = 1 (mod 7). Aus (3/4) wird also
(3/4) = 3 * 4-1 = 3 * 2 = 6 (mod 7)
Und dann mußt du das Inverse zu 6 (mod 7) bestimmen, dann hast Du auch ein Inverses zu (3/4).
Grüße
Mathemat
Hallo.
Zunächst einmal solltest Du diesen Bruch in eine ganzzahlige
Darstellung umwandeln:(3/4) = 3 * 4-1
Du musst jetzt das Inverse zu 4 (modulo 7) berechnen. Schau
mal hier in dem Wikipedia-Artikel und besonders unter dem
dortigen Link zum euklidischen Algorithmus:http://de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe
Mit dem Algorithmus kannst Du die inversen Elemente in einem
Restklassenring bestimmen.In unserem Beispiel müßte 2 herauskommen, denn 4 * 2 = 8 = 1
(mod 7). Aus (3/4) wird also(3/4) = 3 * 4-1 = 3 * 2 = 6 (mod 7)
Und dann mußt du das Inverse zu 6 (mod 7) bestimmen, dann hast
Du auch ein Inverses zu (3/4).
Wenn mich nicht alles täuscht, sollte es auch ein klein wenig einfacher gehen:
(3/4) = 3 * 4-1 (mod 7)
Damit gilt doch
(3/4)^-1 = 3-1 * 4 = 5 * 4 = 6 (mod 7)
Damit muss man nur noch ein Inverses ausrechnen, vereinfacht die Berechnung etwas.
Sebastian.
*g, das was hier ausgesagt wird ist folgendes: (3/4)^-1 = 4/3 (mod7). Und wenn du willst, kannst du 4 * 3^-1 noch weiter berechnen 
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Dark_Rider.
ich betrachte aber den Restklassenkörper der ganzen Zahlen, d.
h. es gibt keine Brüche, oder sehe ich da jetzt etwas falsch?
Dir fehlt noch der letzte Schritt. Das Inverse zu 3/4 ist 4/3. Und 4/3 ist diejenige Zahl x, fuer die 4=3*x gilt, also in Z/7Z x=6.
Gruss,
klaus