Tachchen,
(a/b)/(c/d) = (b*c)/(a*d)
Warum? Ja, das Verhältnis wird nicht gändert. Ergo: Ergebnis bleibt gleich.
Aber: Warum wird das Verhältnis nicht geändert, wenn man diese Multiplikation anwendet? Wie heisst das Gesetz überhaupt?
Hossa 
(a/b)/(c/d) = (b*c)/(a*d)
Warum wird das Verhältnis nicht geändert, wenn man diese
Multiplikation anwendet? Wie heisst das Gesetz überhaupt?
Die verwendete Regel besagt, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Beispiel: Ich habe 3 Euro und möchte mir Joghurts kaufen, die je 1/2 Euro kosten. Wie viele Joghurts kann ich kaufen?
\frac{\left.3\right.}{\frac{1}{2}}=3\cdot\frac{2}{1}=3\cdot 2=6
Dasselbe passiert bei deinem Doppelbruch:
\frac{\left.\frac{a}{b}\right.}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}
Jetzt siehst du auch, dass du oben aus Versehen Zähler und Nenner vertauscht hast…
Viele Grüße
Hase
(a/b)/(c/d) = (b*c)/(a*d)
Warum?
Moin,
(a/b)/(c/d) = x
a/b = c/d x
ad/b = c x
ad = bc x
ad/bc = x
Oh man. So simpel ist das. Danke.
Das führt mich direkt zur nächsten Frage:
Warum wird mit dem Kehrwert multipliziert, wenn man durch einen Bruch teilt?
Ein Bruch ist eine reele Zahl. Der Kehrwert der reelen Zahl ‚x‘ ist 1/x. Dir ist sicher klar, dass y/x = y * 1/x ist.
Hi mad,
Ich denke zwar, dass deine vorherige Ausführung meine Frage beantwortet hat (also dein erster post), so wie ich sie gemeint hatte.
Denn sie zeigt ja klar und eindeutig die Lösung auf.
Nun bin ich aber neugierig, was du mir mit:
y/x = y*(1/x) sagen willst. Ich weeiß nämlich nicht, worauf du damit hinaus willst.
Danke.
Wenn x ein Bruch ist, dann ist y/x teilen durch den Bruch und
y/x = y*1/x also dividieren durch einen Bruch ist wie Mutliplikation mit dem kehrwert.
Hossa
Warum wird mit dem Kehrwert multipliziert,
wenn man durch einen Bruch teilt?
Endlich stellt mal jemand diese Frage. Viele Leute nehmen diese Regel einfach so hin. Find ich prima, dass du nachhakst.
Zuerst sehen wir uns mal an, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert. Als Beispiel soll der Bruch (3/4) mit 6 multipliziert werden:
\frac{3}{4}\cdot6=\underbrace{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}_{\mbox{6-mal}}=\frac{3\cdot6}{4}=\frac{18}{4}
Das ist sofort einleuchtend. Genauso wie z.B. 3 „Bäume“ plus 3 „Bäume“ gleich 6 „Bäume“ sind, sind auch 3 „Viertel“ plus 3 „Viertel“ gleich 6 „Viertel“ (einfach nur „Bäume“ durch „Viertel“ ersetzen). Addiere ich also 6-mal 3 „Bäume“ („Viertel“), erhalte ich insgesamt 18 „Bäume“ („Viertel“).
Mit Worten: Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem der Zähler mit dieser Zahl multipliziert wird und der Nenner ungeändert bleibt:
\frac{a}{b}\cdot c=\frac{a\cdot c}{b}
Die nächste Frage ist: „Wie teilt man einen Bruch durch eine ganze Zahl?“ Nehmen wir das obige Beispiel nur rückwärts. 18 „Bäume“ geteilt durch 6 sind 3 „Bäume“. Also sind 18 „Viertel“ geteilt durch 6 ebenfalls 3 „Viertel“. Ich schreibe im Folgenden den Bruch (18/6) nochmal hin, ohne ihn schon auszurechnen, weil da noch was hinterher kommt:
\frac{18}{4}:6=\frac{\left.\frac{18}{6}\right.}{4}
Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn ich den Zähler und den Nenner mit der gleichen ganzen Zahl n multipliziere. Denn wenn die n-fache Menge in n-mal mehr Teile zerlegt wird, sind die Teile noch genauso groß wie vorher. Daher kann ich oben den Zähler und den Nenner des Bruches mit 6 multiplizieren:
\frac{18}{4}:6=\frac{\left.\frac{18}{6}\right.}{4}=\frac{\left.\frac{18}{6}\cdot6\right.}{4\cdot6}
Da wir schon wissen, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, können wir den Zähler ausrechnen:
\frac{18}{4}:6=\frac{\left.\frac{18}{6}\right.}{4}=\frac{\left.\frac{18}{6}\cdot6\right.}{4\cdot6}=\frac{\left.\frac{18\cdot 6}{6}\right.}{4\cdot6}=\frac{\left.18\right.}{4\cdot6}
Das gilt auch ganz allgemein:
\frac{a}{b}:d=\frac{\left.\frac{a}{d}\right.}{b}=\frac{\left.\frac{a}{d}\cdot d\right.}{b\cdot d}=\frac{\left.\frac{a\cdot d}{d}\right.}{b\cdot d}=\frac{\left.a\right.}{b\cdot d}
Mit Worten: Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem der Zähler ungeändert bleibt und der Nenner mit dieser Zahl multipliziert wird:
\frac{a}{b}:d=\frac{a}{b\cdot d}
Nun können wir die Frage beantworten, wie eigentlich ein Bruch mit einem anderen Bruch multipliziert wird:
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot c:b
Die Multiplikation erfolgt mit der ersten Regel (c geht also in den Zähler):
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot c:d=\frac{a\cdot c}{b}:d
Die Division des Bruches durch d erfolgt nach der zweiten Regel (d geht also in den Nenner):
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot c:d=\frac{a\cdot c}{b}:d=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
Die Regel zur Multiplikation zweier Brüche lautet daher: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. In dieser Regel sind die beiden vorigen Regeln zusammengefasst.
So, nun endlich zur Divison zweier Brüche…
Als Beispiel teilen wir (3/5) durch (2/7):
\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\right.\right.}{\frac{2}{7}}
Der Wert des Bruches ändert sich nicht, wenn wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Wir wählen wir als diese Zahl den Kehrwert des Nenners, also den Bruch (7/2):
\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\right.\right.}{\frac{2}{7}}=\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}\right.\right.}{\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}}
Nach der Regel „Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner“ gilt weiter:
\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\right.\right.}{\frac{2}{7}}=\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}\right.\right.}{\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}}=\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}\right.\right.}{\frac{2\cdot 7}{7\cdot 2}}=\frac{\left.\left.\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}\right.\right.}{\frac{14}{14}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{2}
Das kann man auch allgemein hinschreiben:
\frac{\left.\left.\frac{a}{b}\right.\right.}{\frac{c}{d}}=\frac{\left.\left.\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right.\right.}{\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}}=\frac{\left.\left.\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right.\right.}{\frac{c\cdot d}{d\cdot c}}=\frac{\left.\left.\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\right.\right.}{\frac{c\cdot d}{c\cdot d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}
Mit Worten: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Viele Grüße
Hase
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