Guten Morgen an alle,
ich bin im faktoriellen Ring (Integritätsbereich, eindeutige Zerlegbarkeit in Einheiten und irreduzible Elemente). Ich möchte zeigen, dass äquivalent gilt:
a)x und y sind teilerfremd in R (ggt ist eine Einheit, d.h. Teiler des Einselementes)
b) für alle in R irreduziblen Elemente (Produkte aus assoziierten zu r oder Einheiten in R) gilt, dass sie weder x noch y oder entweder x oder y teilen
Ich kenne mich mit den Begrifflichkeiten aus, kann diese auch anwenden, aber mir fehlt eine Idee für den Beweis beider Richtungen.
Ich würde mich über Beweisideen freuen.
LG, Catrin
Hallo,
hört sich toll an, aber was hat das mit „Geschichte“, dem Forumstitel zu tun?
&tschüß
Wolfgang
Oh, ich habe es falsch zugeordnet, wie kann man das ändern?
LG, Catrin
Habs schnell verschoben.
Ganz lieben Dank
VG Catrin
Hallo,
wissen wir, daß gcd assoziativ ist, oder ist das auch noch zu zeigen?
Jedenfalls habe ich fur die Rückrichtung:
gcd(p,y) = u & gcd(p,x) = p
=> gcd(gcd(p,x),y))=u = gcd(p,gcd(x,y))
=> gcd(x,y) = u'
(u und u’ aus U®)
Aus dem anderen Fall, daß gcd(p,x)=u und gcd(p,y)=u’ läßt sich meines Erachtens keine Aussage über gcd(x,y) treffen. Gegenbeispiel in Z: 7!8 und 7!24, aber gcd(8,24)=4. Die Rollen von x und y kann man noch vertauschen für die entweder-oder-Aussage.
Für die Hinrichtung überlege ich via xy=gcd(x,y)lcm(x,y)=u lcm(x,y) und der Eigenschaft, daß irreduzible Elemente in UFDs prim sind, sprich aus p|ab => p|a oder p|b … bzw. der Kontraposition: p!a & p!b => p!ab (! soll teilt nicht heißen).
Aber ich fürchte man muß für die Hinrichtung x und y hinschreiben a la
x = u p1^e1 p2^e2 ... y = v q1^f1 q2^f2 ....
wegen UFD kann man das umschreiben zu:
x = u p1^e1 p2^e2 ... y= v p1^f1 p2^f2 ....
und dann heißt gcd(x,y)=1, daß ei und fi nicht gleichzeitig ungleich 0 sein können. Alle irreduziblen Elemente von R sind gerade die pi, wenn man die Einheiten nach vorne ins u (bzw. v) verfrachtet.
Aus gcd(x,y)=1 ergeben sich also für p=pi: p!xy, falls ei=fi=0, oder p|x falls ei>0 (und damit fi=0), oder p|y falls fi>0 (und ei=0).
Ich hoffe, das hilft.
Danke für deine Antwort und den immensen Aufwand. Ich verstehe davon kaum etwas, vor allem die ganzen Abkürzungen nicht. Ich bin Lehramtsstudent und belege für ein Semester Algebra, d. h. Ich bewege mich auf der Ebene der Grundlagen.
Gibt es eine einfachere Beweisführung?
Viele Grüße
Ah danke für die Anmerkung. Also gcd ist der größte gemeinsame Teiler, lcm das kleinste gemeinsame Vielfache. U( R ) die Einheiten von R. UFD ein Integritätsbereich mit eindeutiger Faktorisierung. a|b steht für a teilt b. a!b steht für a teilt b nicht. Mit ^ habe ich Potenzen gemeint. i sind Indizes, ei ist also das i-te e, fi das i-te f. Das Problem ist, daß man das hier nicht so schon darstellen kann wie an der Tafel.
Nochmal zum Beweis. Die Hinrichtung ist eigentlich nur die Definition des gcd, wegen der UFD-Eigenschaft brauchen wir uns aber nicht um verschiedene Basen kümmern, sondern können direkt alle irreduziblen Elemente hernehmen und x und y als ein Potenzprodukt schreiben. b) folgt dann eigentlich sofort, aber man muß alle Fälle durchgehen und erklären.
Für die Rückrichtung gibt es die elegante Variante mit dem gcd, WENN schon bewiesen ist, daß dieser assoziativ ist. Ansonsten kann man auch bei der Rückrichtung auf die Erklärweise zurückgehen. A la:
p|x schreibt man als (p =) u’ p1^0 p2^0 … pi^1 … | u p1^e1 p2^e2 … pi^ei … (= x)
p!y schreibt man als (p =) u’ p1^0 p2^0 … pi^1 … ! v p1^f1 p2^f2 … pi^0 … (= y)
das ist ziemlich genau einfach die Definition von Teilbarkeit bzw. Zerlegung.
Und dann geht man über alle pi aus R und sieht, daß stets ei > 0 => fi = 0 bzw. fi > 0 => ei = 0, was ja einfach gcd(x,y) = 1 bedeutet. Und mit 1 meine ich Einheiten.
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Oh, danke, das ist mega nett, wie du dir Zeit nimmst für diese Aufgabe. Ich werde das morgen früh durcharbeiten und ggf. Nochmal nachfragen.
Ganz herzlichen Dank und einen schönen Abend