Isolierte Nullstellen

Wissenschaft Physik
#1

Hi, ich hab gerade folgende Aussage in meinem Funktionentheorieskript gelesen:

„Nullstellen holomorpher Funktionen sind isoliert“

Genauer:
Sei M Untermenge C offen und zusammenhängend sowie f:M->C eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann gibt es zu jeder Nullstelle von f eine Umgebung in der keine weiteren Nullstellen liegen.

Etwas macht mich an der Aussage stutzig: Was ist wenn ALLE Ableitungen von f an der Nullstelle verschwinden, also 0 werden? Dann kann ich eine Taylorentwicklung um diese Nullstelle machen die identisch der Nullfunktion ist. Nichtsdestotrotz lässt sich aber f in einer Umgebung von der Nullstelle durch diese Reihe darstellen. Das hiesse aber, dass es keine Umgebung gibt, in der es nur diese eine Nullstelle gibt.
Schliesst die Bedingung, dass f nicht konstant sein darf diesen Fall aus? Wenn ja, warum schliesst sie diesen Fall aus?

Gruss,
Timo

#2

Moin,

Etwas macht mich an der Aussage stutzig: Was ist wenn ALLE
Ableitungen von f an der Nullstelle verschwinden, also 0

Ich mag mich irren, aber nenne mir eine Funktion f(x): ∃ x mit f(x) ≠ 0, für die an einer beliebigen Stelle alle Ableitungen verschwinden (mit Ausnahme von Funktionen, wo die Menge der Funktionswerte f(x) ≠ 0 das Maß einer Nullmenge hat).

Beste Grüße,
Ingo

#3

Hallo,

Etwas macht mich an der Aussage stutzig: Was ist wenn ALLE
Ableitungen von f an der Nullstelle verschwinden, also 0
werden?

In diesem Fall wäre f ≡ 0

und damit konstant. (Beweis-Skizze nach Anfrage)

Schliesst die Bedingung, dass f nicht konstant sein darf
diesen Fall aus?

ja.

Wenn ja, warum schliesst sie diesen Fall aus?

ähm… weil sie für diesen Fall nicht gilt…?

Gruß
Oliver

#4

Moin,

Ich mag mich irren, aber nenne mir eine Funktion f(x): ∃
x mit f(x) ≠ 0, für die an einer beliebigen Stelle
alle Ableitungen verschwinden (mit Ausnahme von
Funktionen, wo die Menge der Funktionswerte f(x) ≠ 0 das
Maß einer Nullmenge hat).

Och, da gibt es jede Menge. Eine unter vielen wäre z.B.

 0, x = 0
f(x) = 
 e<sup>-1/x²</sup>, sonst

an der Stelle Null sind alle Ableitungen Null, die Talorreihe dieser Funktion ist somit identisch Null und hat den Konvergenzradius unendlich.

Gruß
Oliver

#5

Die Behauptung, dass dann f die Nullabbildung ist, kann mit dem Identitätssatz bewiesen werden, richtig?
Damit hätte sich die Frage erledigt.
Vielen Dank euch beiden!

Gruss,
Timo

#6

Hallo Timo,

Die Behauptung, dass dann f die Nullabbildung ist, kann mit
dem Identitätssatz bewiesen werden, richtig?

richtig, richtig, pupichtig.

Sind nämlich alle Ableitungen von f an einem Punkt z1 Null, so verschwinden alle Koeffizienten in der Taylorentwicklung um z1. f ist daher identisch 0 in einer Umgebung von z1 und damit verschwinden auch alle Ableitungen von f in dieser Umgebung.
Jetzt kannst du das Spiel für einen anderen Punkt z2 in dieser Umgebung wiederholen und vergrößerst so den Bereich von dem du weißt dass dort f ≡ 0 ist. Da das Definitionsgebiet G von f zusammenhängen ist, folgt damit f ≡ 0 auf ganz G.

Eigenschaften holomorpher Funktionen auf einer nichtdiskreten Teilmenge M ⊂ G pflanzen sich also gewissermaßen auf ganz G fort. Kennst du also die Funktion nur auf einem winzigen Bereich, kennst du sie überall. Diese Eigenschaft analytischer Funktionen nennt man übrigens Permanzprinzip.

Gruß nach Trippstadt
Oliver

#7

Hi,

Och, da gibt es jede Menge. Eine unter vielen wäre z.B.

0, x = 0
f(x) =
e-1/x², sonst

Das Beispiel ist überzeugend, beliebig differenzierbar und „schön“.

Merci & Gruß,
Ingo