Hallo Leute, ich hab ein Problem mit der Isomorphie von Gruppen. Hier erstmal die Aufgabe:
Zeigen oder widerlegen Sie: Die beiden Gruppen
(Z_{4},+),(Z^{*}_{5},*)mit
Z^{*}_{5} = Z_{5} - {0} sind isomorph zueinander.
Ich habe bisher den Homomorphismus
f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=3
4=f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=2*2=4
gefunden. Aber wie mache ich jz weiter? stehe echt aufm schlauch. hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. dankeschön =)
lg ionel
Hallo Leute, ich hab ein Problem mit der Isomorphie von
Gruppen. Hier erstmal die Aufgabe:Zeigen oder widerlegen Sie: Die beiden Gruppen
(Z_{4},+),(Z^{*}_{5},*)mit
Z^{*}_{5} = Z_{5} - {0} sind isomorph zueinander.
Hallo,
das sind ja dann {0,1,2,3} und {1,2,3,4}.
Angenommen es gibt einen Isomorphismus, also
f:Z_4\rightarrow Z_5^*
bijektiv mit f(x+y)=f(x)f(y). Dann müsste gelten
f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)
Daraus folgt schonmal, dass f(0)=1. Außerdem müsste gelten
f(4)=f(2+2)=f(2)f(2)
Deshalb muss f(4) ein Quadrat sein. 1 ist schon durch f(0) belegt, es bleibt also nur f(4)=4. Damit ist dann f(2)=2.
Jetzt kommt der Widerspruch.
f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)
f(1) müsste also √2 sein, und das ist kein Element von Z5*.
Gruß
hendrik
ah jz macht es sinn =) ich danke dir für deine antwort