Hi, ich habe eine Antwort zu einer Frage ausgearbeitet und würde von euch nun gerne wissen, ob meine Antwort auch richtig ist.
Frage: Gibt es zwischen den Gruppen (R,+) und (R>0,*) einen Ismomorphismus?
(R=reelle Zahlen, R>0 = alle positiven reellen Zahlen, *=Multikplikation,+=Addition)
Meine Antwort lautet wie folgt:
Nein, es kann keinen Isomporphismus geben, da die Abbildung f von R nach R>0 für einen Isomorphismus injektiv und surjektiv sein muss.
Da aber |R|>|R>0|(weil R die positiven reellen Zahlen mit einschliesst) folgt, dass es keine injektive Abbildung geben kann, weil nicht genügend Elemente in R>0 dafür zur Verfügung stehen.
Daraus folgt, dass f nicht injektiv und somit auch nicht isomorph sein kann.
Ist das so richtig? Irgendwie kommt mir die Antwort zu einfach vor…
Frage: Gibt es zwischen den Gruppen (R,+) und (R>0,*) einen
Ismomorphismus?
(R=reelle Zahlen, R>0 = alle positiven reellen Zahlen,
*=Multikplikation,+=Addition)
Meine Antwort lautet wie folgt:
Nein, es kann keinen Isomporphismus geben, da die Abbildung f
von R nach R>0 für einen Isomorphismus injektiv und
surjektiv sein muss.
Da aber |R|>|R>0|(weil R die positiven reellen Zahlen
mit einschliesst) folgt, dass es keine injektive Abbildung
geben kann, weil nicht genügend Elemente in R>0 dafür zur
Verfügung stehen.
Daraus folgt, dass f nicht injektiv und somit auch nicht
isomorph sein kann.
Ist das so richtig? Irgendwie kommt mir die Antwort zu einfach
vor…
Leider ist das nicht richtig. Du bist einem klassischen Irrtum aufgesessen, was das Thema von grössen von Mengen angeht. Deine Argumtentation würde für endliche Mengen funktionieren, aber nie für unendliche Mengen. Unendliche Mengen zeichnen sich gerade dadurch aus, dass es eine bijektive Abbildung auf eine echte Teilmenge gibt. Meinst Du mit |M| die Kardinalität einer Menge („Messung der Grösse“ für beliebige Mengen) so gilt |R|=|R>0|. Was genau bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen R und R>0 gibt. Man kann das abstrakt beweisen oder aber (was ich gleich tun werde) dadurch, dass man die Bijektion direkt angibt. Und in unserem Fall leistet zum Beispiel die Exponentialfunktion das gewünschte. Und wie es der Zufall so will (oder war es keiner?) ist dies auch der gesuchte Gruppen-Isomorphismus.
Mit |M| meine ich die Anzahl der Elemente einer Menge(ist das die Kardinalität?). Ich wusste zwar, dass beide Mengen unendlich viele Elemente haben, aber ich wusste auch, dass R R>0 einschliesst also auf jeden Fall mehr Elemente haben muss. Kann man so argumentieren? Danke übrigens für die Hilfe am Freitag abend
Nein, so kannst du auf gar keinen Fall argumentieren!
Nur kurz zu den Mengen nochmal:
Wie schon gesagt wurde: die Menge aller reellen Zahlen haben genau wie die Menge der positiven reellern Zahlen oder z.B. die Menge der reellern Zahlen zwischen 0 und 1 die Mächtigkeit „alef 1“, überabzählbar unendlich. Alle die gleich Mächtigkeit. In keiner Menge sind weniger Elemente als in den anderen…
Ähnlich wie bei den rationalen Zahlen und den natürlichen Zahlen. Du weißt doch, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen sind, aber du würdest doch nie auf die Idee kommen, dass es weniger natürliche als rationale Zahlen gibt, oder? Von beiden gibt es abzählbar unendlich viele. Zwischen diesen beiden Mengen gibt es auch eine Bijektion. Aber das ist eine andere Geschichte…
Ach ja, mir fällt da nochwas ein (andauernd muss ich mich verbessern ):
Eine Abbildung kann auch nicht isomorph sein sondern nur die beiden Mengen um die es geht. Zwei Mengen sind eben isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Kleine Begrifflichkeitsschwiewrigkeit, aber Genauigkeit muss sein. Matehmatik ist präzise, irgendwann hat man das drin
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Mit |M| meine ich die Anzahl der Elemente einer Menge(ist das
die Kardinalität?).
Soweit ich das mit der Kardinalität verstanden habe, ist das für endliche Mengen tatsächlich die Anzahl der Elemente.
Bei unendlichen wird die Sache aber kompliziert.
So hat z.B. die Menge R eine größere Kardinalität, als die Menge der natürlichen Zahlen. Obwohl beide unendlich viele Elemente besitzen.
Die Kardinalität soll, glaube ich, ein Instrument sein, um verschiedene „unendlichs“ miteinander zu vergleichen.
Ich wusste zwar, dass beide Mengen
unendlich viele Elemente haben, aber ich wusste auch, dass R
R>0 einschliesst also auf jeden Fall mehr Elemente haben
muss.
Hier liegt das Problem, wie Dir ja bereits erklärt wurde.
Ich will nur noch ein Beipiel bringen, was vielleicht noch etwas übersichtlicher ist, als die rationalen, gegenüber den natürlichen Zahlen:
Nimm die einmal die Menge der natürlichen Zahlen.
Eine (echte) Teilmenge davon sind die geraden Zahlen.
Nach Deiner Argumentation wären es nun weniger gerade Zahlen, als natürliche Zahlen.
Es existiert aber natürlich eine Bijektion zwischen den beiden Zahlenbereichen.
Jede gerade Zahl kann man schreiben als 2n (n = natürliche Zahl).
Also: n 2n (surjektiv, injektiv, bijektiv)
Also sind die beiden Mengen gleichmächtig.
Und um die Sache rund zu machen:
Eine solche Bijektion existiert leider nicht zwischen R und den natürlichen Zahlen, deshalb hat R also „mehr“ Elemente. Was dieses „mehr“ genau bedeutet und wieviel mehr sagt uns die Kardinalität.
Ich hoffe, dass Dir das vielleicht noch mehr nutzt und ich keinen Mist geschrieben habe (von Kardinalität verstehe ich nämlich nicht soo schrecklich viel).
wie schon urs und zwergenbrot geschrieben haben: bei unendlichen mengen kann eine teilmenge gleich „mächtig“ sein wie die gesamtmenge. urs hat dir den isomorphismus auch schon genannt - die exponetialfunktion (bzw.: umgekehrt: der natürliche logarithmus.)
kardinalität ist für endliche mengen die anzahl der elemente der menge; für unendliche mengen muss man das anders handhaben. (da funktioniert auch der begriff „anzahl“ ja nicht.) man arbeitet deshalb mit bijektiven abbildungen. wenn zwischen zwei mengen bijektive abbildungen möglich sind, haben sie die gleiche kardinalität. selbstverständlich gibt es bijektive abbildungen zwischen endlichen mengen gleicher elementzahl; man kann beweisen, dass N (die natürlichen zahlen), Z (die ganzen zahlen), Q (die rationalen zahlen) gleich mächtig sind (gleiche kardinalität haben - man nennt diese kardinalität „abzählbar“); man kann beweisen, dass R (die reellen zahlen) definitiv nicht abzählbar sind, also höhere kardinalität haben; zwischen R und intervallen in R (insbesondere zu der von dir nachgefragten teilmenge von R) sind bijektionen angebbar. tatsächlich ist die menge der positiven reellen zahlen von gleicher kardinalität wie die reellen zahlen selbst. (es sind NICHT „mehr“ zahlen in R als in R+ !!!) das ist aber für unendliche mengen nichts ungewöhnliches. (hat auch urs schon geschrieben.)
ob es zwischen der kardinalität von N (bzw. Z bzw. Q) und der von R noch eine andere kardinalität gibt, ist meines wissens eine derzeit noch ungelöste frage der mathematik. (vgl. z.b. wikipedia, „hilbert-probleme“ o.ä.)
hth
m.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
ob es zwischen der kardinalität von N (bzw. Z bzw. Q) und der
von R noch eine andere kardinalität gibt, ist meines wissens
eine derzeit noch ungelöste frage der mathematik. (vgl. z.b.
wikipedia, „hilbert-probleme“ o.ä.)
Bei wikipedia steht das, was ich auch schon gehört habe und daher für wahr halte (überzeugt bin ich noch nicht):
Ob es eine kardinalzahl zwischen N und R gibt ist nicht ungelöst, sondern unentscheidbar, zumindest in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom. Soll heißen, entweder man nimmt es als Axiom dazu oder es ist schlichtweg unmöglich zu sagen, ob es wahr oder falsch ist.
Grüße,
Zwergenbrot
(der diese unendscheidbaren Aussagen für sehr unintuitiv und zweifelhaft hält)
Ob es eine kardinalzahl zwischen N und R gibt ist nicht
ungelöst, sondern unentscheidbar, zumindest in der
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom. Soll heißen,
entweder man nimmt es als Axiom dazu oder es ist schlichtweg
unmöglich zu sagen, ob es wahr oder falsch ist.
kleine Spitzfindigkeit: als _Axiom_ dazunehmen geht nicht, weil weder die eine noch die andere Möglichkeit „selbsteinsichtig“ ist (was nicht selbsteinsichtig ist, kann auch kein Axiom sein). Was manche Mathematiker hoffen, ist, daß mal jemand irgendein „bisher übersehenes“ zusätzliches Axiom entdeckt, _über das_ sich dann die Cantorsche Kontinuumshypothese (*) verifizieren oder falsifizieren läßt. Die meisten glauben jedoch, daß dies niemals passieren wird. In diesem Fall würde die Kontinuumshypothese für immer unentschieden bleiben, d. h. man kann annehmen, daß sie wahr ist, und bekommt damit nirgendwo in der ZFC einen Widerspruch heraus (Beweis durch Gödel in den 30ern), und man kann annehmen, daß sie falsch ist, und bekommt damit ebenfalls (!) nirgendwo einen Widerspruch (Beweis durch Cohen in den 60ern).
(*) Die „Kontinuumshypothese“ besagt, daß es eine Menge gibt, die mächtiger ist als N, aber weniger mächtig als R.
(*) Die „Kontinuumshypothese“ besagt, daß es eine Menge gibt,
die mächtiger ist als N, aber weniger mächtig als R.
Steh ich aufm Schlauch? Meines Wissens nach besagt die Kontinuumshypothese grade, dass es KEINE Menge gibt, die mächtiger ist als N aber weniger mächtig als R, dass also zwischen dem uns bekannten alef 0 und alef 1 nix mehr liegt.
Was auch noch zu erwähnen wäre ist, dass sie sich unabhängig zu einem anderen unentscheidbaren Problem verhält: Dem Auswahlaxiom.
Gruß
Christina
P.S.: Wo sollte man den so ein „übersehens Axiom“ herkriegen??
Meines Wissens nach besagt die
Kontinuumshypothese grade, dass es KEINE Menge gibt,
ja, stimmt. Ich hab’s tatsächlich falsch rekapituliert (Freudsche Fehlleistung?). Sorry und danke für die Richtigstellung.
Was auch noch zu erwähnen wäre ist, dass sie sich unabhängig
zu einem anderen unentscheidbaren Problem verhält: Dem
Auswahlaxiom.
Was Du hiermit getan hast .
P.S.: Wo sollte man den so ein „übersehens Axiom“ herkriegen??
Eben. Wie gesagt: Die Entdeckung eines solchen Axioms wird allgemein für unmöglich gehalten –> die CH wird für immer unentschieden bleiben. Einige beharren jedoch auf ihrer Meinung, daß man niemals nie sagen sollte (ich selbst stimme dem _nicht_ zu).
Eben. Wie gesagt: Die Entdeckung eines solchen Axioms wird
allgemein für unmöglich gehalten –> die CH wird für immer
unentschieden bleiben. Einige beharren jedoch auf ihrer
Meinung, daß man niemals nie sagen sollte (ich selbst stimme
dem _nicht_ zu).
Gruß
Martin
Sehe ich genauso. Man könnte höchstens alles nochmal ohne Annahme des Auswahlaxioms bzw. der Kontinuumshypothese aufbauen. Spannendes Thema übrigens
nur ist es in manchen bereichen sinnvoll:
am bekanntesten wäre C - ohne dies wären viele Vektorräume ohne Basis -
ausserdem müsste man/frau theoretisch ja vor jede arbeit hinschreiben :
Angenommen ZFC ist widerspruchsfrei (und in spezialfällen (genau bei H tut man das ja auch))
H braucht man tw. in Bornologischen Räumen - frag mich bitte nicht was eine bornologie ist - ich hab das nur von meinem prof gehört -
Banach-tarski
hallo um noch mehr zur verwirrung beizutragen
aber das verständnis für „große“ mengen zu finden:
Aus dem Auswahlaxiom - unten diskutiert - kann man mit Gruppen und mengenlehre BEWEISEN:
eine mathematische Vollkugel im R^3 - zb die einheitskugel - kann in endlich viele teile zerlegt werden - diese teile kann man drehen und wieder zusmmensetzen und somit ZWEI Kugeln mit gleichem Radius erhalten.
man sieht - der intuitive begriff von „groß“ muss bei nichtendlichen mengen schnell aufgegeben werden.
auch im bereich der abzählbaren mengen - braucht man sich nicht mehr auf die intuition verlassen - oder wer versteht intuitiv, dass es genausoviele Primzahlen (das sind doch „wenige“) wie Bruchzahlen gibt
mathematik ist mit dem prozess der abstraktion gewachsen (!) und damit ergeben sich zwangsläufig sachen die der Vernunft zuwiderlaufen - vorallem bei sachen die „übervorstellbar“ sind
Aus dem Auswahlaxiom - unten diskutiert - kann man mit Gruppen
und mengenlehre BEWEISEN:
eine mathematische Vollkugel im R^3 - zb die einheitskugel -
kann in endlich viele teile zerlegt werden - diese teile kann
man drehen und wieder zusmmensetzen und somit ZWEI Kugeln mit
gleichem Radius erhalten.
da drängen sich mir zwei Fragen auf:
Wenn die ursprüngliche Kugel 1 kg wiegt und ich den kompletten Vorgang auf einer Waage durchführe, in welchem Moment springt die Anzeige der Waage auf „2 kg“ um?
Funktioniert diese Sache auch mit Kugeln aus Gold?
