Hallo Mathematiker!
Mir ist untergekommen, daß unter „wahren Mathematikerkreisen“ 1 nicht als Primzahl angesehen wird.
Was steckt nun wirklich dahinter?
Denn ich, als praktisch orientierter Techniker, würde diese Zahl sehrwohl zu den Primzahlen zählen!
Danke im Voraus für Antworten!
mfg!
BStefan
soweit ich weiß, ist 1 keine Primzahl (einfach per Definition), da gelten muß, daß keine Primzahl durch eine andere Primzahl teilbar ist.
(schlagt mich nicht, wenn das falsch ist)
ecki
Hallo BStefan,
Mir ist untergekommen, daß unter „wahren
Mathematikerkreisen“ 1 nicht als Primzahl
angesehen wird.
das ist richtig.
Was steckt nun wirklich dahinter?
Dahinter steckt der sogenannte Fundamentalsatz der Zahlentheorie, welcher lautet „Jede Zahl größer als 1, die nicht selbst prim ist, läßt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben“.
Beispiel: Die „Faktorisierung“ der Zahl 1020 ist
1020 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 17
In dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie steht nun ein mathematisch gesehen sehr „starkes“ Wort, nämlich „eindeutig“ (es ist überhaupt das wesentliche Wort in dem Satz). Wenn man nun die 1 auch zu den Primzahlen rechnen würde, müßte man dieses Wort streichen, weil die Primfaktorzerlegung einer Zahl dann nicht mehr eindeutig wäre:
1020 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 17
aber auch
= 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 17
oder
= 1 * 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 17
oder
= 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 17
Fazit: Um den Fundamentalsatz seine Eindeutigkeitsaussage machen zu lassen und ihn dabei nicht unnötig umständlich formulieren zu müssen, ist es am einfachsten, das neutrale Element der Multiplikation, die 1 nicht als Primzahl anzusehen. Einen anderen Grund gibt es nicht.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Soweit ich es noch in Erinnerung habe:
Eine Primzahl ist natürliche Zahl, die nur durch Eins oder sich selbst teilbar ist.
Sofern das „oder“ in der Definition nicht ausschließlich ist, muesste die Eins demnach eine Primzahl sein.
Ist wohl einfach eine Definitionsfrage.
Eine Definition fuer Primzahl ist:
Eine natuerliche Zahl mit genau 2 Teilern heisst Primzahl.
Danach ist 1 keine Primzahl!
Gruss
Reinhard
Es muss heissen: eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch eins und sich selbst teilbar ist.
Also heisst es „und“, nicht „oder“.
die eins kann nur eine der beiden Bedingungen erfüllen und ist deshalb keine Primzahl.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Es muss heissen: eine Primzahl ist eine
natürliche Zahl, die nur durch eins und
sich selbst teilbar ist.
Also heisst es „und“, nicht „oder“.die eins kann nur eine der beiden
Bedingungen erfüllen und ist deshalb
keine Primzahl.
Du hast recht: es muß heißen „und“ und nicht „oder“. Deine Schlußfolgerung kann ich aber nicht teilen:
Ciao
Roland
Danke für die Antworten!
Jetzt bin ich um einiges gescheiter! 
mfg!
BStefan
Deine Schlußfolgerung kann
ich aber nicht teilen:
- Die Eins ist durch Eins teilbar.
- Die Eins ist durch sich selbst
teilbar.
Damit sind beide Bedingungen erfüllt.
Eins ist folglich eine Primzahl.
Bei der Eins sind beide Teiler gleich groß. Eins und die Zahl selbst (ebenfalls eins) sind schließlich die selbe Zahl. Deshalb wurde die Eins so definiert, dass sie keine Primzahl ist.
mfg
Martin
Hallo, Herr Dr. 
ich meine es nicht boese, wenn ich sage, in Mathematik hast Du nicht promoviert, oder?
[…]
Du hast recht: es muß heißen „und“ und
nicht „oder“. Deine Schlußfolgerung kann
ich aber nicht teilen:
- Die Eins ist durch Eins teilbar.
- Die Eins ist durch sich selbst
teilbar.
Damit sind beide Bedingungen erfüllt.
Eins ist folglich eine Primzahl.
Die Argumentation weiter oben mit dem „Fundamentalsatz der Zahlentheorie“ ist der richtige Ansatz.
Eine Primzahl ist eine natuerliche Zahl, die genau EINEN VON EINS VERSCHIEDENEN TEILER hat. Damit faellt die Eins selbst aus, denn sie ist nicht von sich selbst verschieden. Man moechte naemlich wie oben ausgefuehrt eine eindeutige Primfaktorzerlegung erreichen.
Die Definition „durch Eins und sich selbst teilbar“ ist somit falsch. Ich weiss nicht, wie diese ueberhaupt entstanden ist; es sollte jedenfalls ein Rundschreiben an alle Mathelehrer gehen, sie nicht weiter unter das Volk zu bringen
Gruss
Jens
Hi!
Also, mal vorweg: Ich find die Frage an sich ziemlich interessant, weil sie ziemlich tiefsinnig-philosophisch ist (kann übrigens nicht verstehen, warum hier Mathe bei den Naturwissenschaften steht…) und zusätzlich so viele Gedanken anderer hinterherzieht.
Ich bin zwar sicher keine tolle Mathematikerin (aber werd vielleicht mal eine in zehn Jahren oder so) aber meine persönliche Meinung ist, daß die Zahl 1 eine besondere Zahl ist, eine Ausnahme, ein Sonderfall. Sie ist keine Primzahl, würd ich sagen, weil sie wirklich nur durch eine natürliche Zahl (ohne Rest) teilbar ist.
Ich glaub, man kann sich darüber echt streiten. Das is irgendwie Ansichtssache.
mfg
Anna
Hallo, Herr Dr.
ich meine es nicht boese, wenn ich sage,
in Mathematik hast Du nicht promoviert,
oder?
Nö, da hast du recht. Hab’s vor undenklichen Zeiten in der Schule so gelernt.
Die Argumentation weiter oben mit dem
„Fundamentalsatz der Zahlentheorie“ ist
der richtige Ansatz.Eine Primzahl ist eine natuerliche Zahl,
die genau EINEN VON EINS VERSCHIEDENEN
TEILER hat. Damit faellt die Eins selbst
aus, denn sie ist nicht von sich selbst
verschieden. Man moechte naemlich wie
oben ausgefuehrt eine eindeutige
Primfaktorzerlegung erreichen.Die Definition „durch Eins und sich
selbst teilbar“ ist somit falsch. Ich
weiss nicht, wie diese ueberhaupt
entstanden ist; es sollte jedenfalls ein
Rundschreiben an alle Mathelehrer gehen,
sie nicht weiter unter das Volk zu
bringenGruss
Jens
Danke für die Aufklärung. leuchtet mir ein.
Gruß
Roland
Hallo,
wie oben schon erwähnt, ist eine Zahl genau dann Primzahl, wenn sie GENAU zwei Teiler besitzt. 1 bsitzt jedoch ur einen Teiler, folglich ist 1 keine Primzahl.
Primzahlen gibt es übrigens nicht nur in N. Primzahlen existieren in allen erdenklichen Mengen. In Vielfachenmengen (v(6)={1,6,12,18…} ist z.B. die 12 Primzahl, da sie genau zwei Teiler, 1 und 12, besitzt. 12 ist natürlich in N auch durch 2 teilbar, jedoch ist die Abgeschlossenheit bezüglich einer Rechenoperation zu prüfen.
Gruss, Leppi