Kann mir jemand sagen, ob diese Aufgabe lösbar ist und wenn ja, wie das geht?
Bei 4 Zahlen gibt es 6 Ergebnisse, wenn man jeweils 2 davon multipliziert.
Fünf dieser Produkte seien 2,3,4,5 und 6.
Das Sechste sei X.
Wie lauten die 4 Zahlen und das X?
Entweder hatte ich sowas nie im Matheunterricht, oder ich hab´s vergessen…
Danke im voraus,
Jan
Hallo,
zum lösen bin ich zu faul, werfe aber mal Primfaktoren bzw. -zerlegung in den Raum. Auf den ersten Blick sehe ich, daß mindestens eine der Zahlen 1 sein muß, sonst bekommt man bei einem Produkt keine Pimzahl.
Cu Rene
Hallo,
in deinen Produkten {2, 3, 4, 5, 6} stecken schon mal die Primzahlen 2, 3, 5 drin. Auf die kommt man nur, wenn sie selber und 1 in der Menge sind.
Damit wären die vier Zahlen fix: {1, 2, 3, 5}.
Mit 2*5 = 10 und 3*5 = 15 gibt es aber zwei Produkte, die nicht in der gegebenen Menge von Produkten sind.
Auf 4 kommt man auch nicht.
Ich schließe also, dass das Problem nicht lösbar ist, wenn natürliche Zahlen voraus gesetzt werden.
Grüße
Jops
Bei 4 Zahlen gibt es 6 Ergebnisse, wenn man jeweils 2 davon
multipliziert.
Fünf dieser Produkte seien 2,3,4,5 und 6.
Das Sechste sei X.Wie lauten die 4 Zahlen und das X?
Hallo Jan,
eine sehr interessante Aufgabe, hat mich einiges an Hirnschmalz gekostet. Eine mögliche Lösung ist
a=\sqrt{\frac{10}{3}}, b=\sqrt{\frac{15}{2}}, c=\sqrt{\frac{6}{5}}, d=\sqrt{\frac{24}{5}}
X ist dann 12/5.
Natürlich ist auch jede Permutation der vier Zahlen eine Lösung. Ob es noch weitere Lösungen gibt weiß ich ehrlich gesagt nicht (hatte keine Lust mehr weiterzurechnen). Wenn dich der Lösungsweg interessiert schicke ich ihn dir gerne per mail, hier ist das etwas zu umständlich.
Grüße
hendrik
Kann mir jemand sagen, ob diese Aufgabe lösbar ist und wenn
ja, wie das geht?Bei 4 Zahlen gibt es 6 Ergebnisse, wenn man jeweils 2 davon
multipliziert.
Fünf dieser Produkte seien 2,3,4,5 und 6.
Das Sechste sei X.Wie lauten die 4 Zahlen und das X?
Tatsächlich eine interessante Aufgabe.
Grundsätzlich hast Du 5 Unbekannte (X1, X2, X3, X4 und X) und fünf Gleichungen (Produkte mit dem Ergebnis 2, 3, 4, 5, 6).
So etwas ist eindeutig lösbar, wenn die Gleichungen nicht linear abhängig (Kontinuum von Lösungen) oder widersprüchlich sind.
ABER
Ich weiss gar nicht, wie die Gleichungen aussehen und da gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sich die Zahlen auf die Gleichungen verteilen.
Durch ein wenig herumprobieren findet man schnell, dass normalerweise das Gleichungssystem widersprüchlich ist, diese Zuordnung der Unbekannten auf die Gleichungen also nicht korrekt ist.
Wie mein Vorredner aber gezeigt hat, gibt es mindestens eine Zuordnung, die eine eindeutige Lösung hat.
Meine Vermutung ist, dass das die einzige Zuordnung ist, die eine Lösung hat, dann wäre die Aufgabe tatsächlich eindeutig lösbar.
Aber ich hatte jetzt noch keine Zeit, einen Beweis dafür zu finden.
Gruß
Thomas
Hallo Hendrik,
wie bist du auf die richtige Zuordnung der Produkte zu den Multiplikationen gekommen? Durch „Versuch und Irrtum“ oder gibt es eine weniger zeitintensive Methode?
Gruß
Pontius
wie bist du auf die richtige Zuordnung der Produkte zu den
Multiplikationen gekommen? Durch „Versuch und Irrtum“ oder
gibt es eine weniger zeitintensive Methode?
Hallo Pontius,
„Versuch und Irrtum“ wäre bei dieser Aufgabe ziemlich aufwendig. Nein, ich habe schon etwas nachgedacht. Am Schluss muss man nur zwei Fälle unterscheiden, und in der Tat führen beide Fälle zu Lösungen, einmal
a=\sqrt{\frac{5}{2}},
b=\sqrt{10}, c=\sqrt{\frac{8}{5}},
d=\sqrt{\frac{18}{5}}
und im anderen Fall
a=\sqrt{\frac{10}{3}},
b=\sqrt{\frac{15}{2}}, c=\sqrt{\frac{6}{5}},
d=\sqrt{\frac{24}{5}}
Dass tatsächlich beide Fälle zu Lösungen führen ist mir erst aufgefallen, als ich den Lösungsweg aufgeschrieben habe. Vielleicht gibt es auch noch weitere Lösungen, maximal noch 8.
Ich schicke dir den Lösungsweg gerne per mail zu, hier ist mir das wie gesagt etwas zu umständlich mit dem ganzen LaTeX.
Beste Grüße
hendrik
Vielleicht gibt es auch noch weitere Lösungen, maximal noch 8.
Natürlich immer modulo Vorzeichen. Mann kann ja durch Vorzeichenwechsel aus den positiven Lösungen weitere herleiten.
hendrik
Grundsätzlich hast Du 5 Unbekannte (X1, X2, X3, X4 und X) und
fünf Gleichungen (Produkte mit dem Ergebnis 2, 3, 4, 5, 6).
Es sind sechs Gleichungen:
X1 * X2 = 2
X1 * X3 = 3
X1 * X4 = 4
X2 * X3 = 5
X2 * X4 = 6
X3 * X4 = X
Natürlich sind hier die Indizes und die Ergebnisse beliebig gewählt, aber jede andere Kombination würde ja lediglich eine Permutation des Ergbnisses liefern. Natürlich könnte man auch sagen
X1 * X2 = 2
X1 * X3 = 3
X1 * X4 = 4
X2 * X3 = 5
X2 * X4 = X
X3 * X4 = 6
oder
X1 * X2 = 6
X1 * X3 = 4
X1 * X4 = 5
X2 * X3 = 2
X2 * X4 = X
X3 * X4 = 3
usw.
Gruß
Daniel
Ich mach mirs mal einfach und lasse mein CAS drauf los. Ich
betrachte das
GLSsolve([
x1*x2=liste[i][1],
x1*x3=liste[i][2],
x1*x4=liste[i][3],
x2*x3=liste[i][4],
x2*x4=liste[i][5]],
[x1,x2,x3,x4]),
liste[i] sind die Permutationen der Lösungsmenge [2,3,4,5,6]
Maxima spuckt mir dann 8 Lösungen aus
x1=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x2=\sqrt{2},\sqrt{5},x3=\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}},x4=\frac{3,\sqrt{2}}{\sqrt{5}}
x1=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}},x2=\frac{\sqrt{3},\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x3=\frac{\sqrt{2},\sqrt{3}}{\sqrt{5}},x4=\frac{{2}^{\frac{3}{2}},\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
x1=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x2=\sqrt{2},\sqrt{5},x3=\frac{3,\sqrt{2}}{\sqrt{5}},x4=\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}}
x1=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}},x2=\frac{\sqrt{2},\sqrt{5}}{\sqrt{3}},x3=\frac{\sqrt{2},\sqrt{3}}{\sqrt{5}},x4=\frac{{2}^{\frac{3}{2}},\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
x1=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}},x2=\frac{\sqrt{3},\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x3=\frac{{2}^{\frac{3}{2}},\sqrt{3}}{\sqrt{5}},x4=\frac{\sqrt{2},\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
x1=\sqrt{10},x2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x3=\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}},x4=\frac{3,\sqrt{2}}{\sqrt{5}}
x1=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}},x2=\frac{\sqrt{2},\sqrt{5}}{\sqrt{3}},x3=\frac{{2}^{\frac{3}{2}},\sqrt{3}}{\sqrt{5}},x4=\frac{\sqrt{2},\sqrt{3}}{\sqrt{5}}
x1=\sqrt{10},x2=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}},x3=\frac{3,\sqrt{2}}{\sqrt{5}},x4=\frac{{2}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{5}}
Latürnich sind auch die entsprechenden negativen Zahlen eine
LÖsung, oder waren nur positive ausgemacht?
Damit steht wohl fest, dass Hendrik die zwei echt verschiedenen LÖsungen bereits gefunden hat…
Hallo,
So etwas ist eindeutig lösbar, wenn die Gleichungen nicht
linear abhängig (Kontinuum von Lösungen) oder widersprüchlich
sind.
linear abhängig? Die Gleichungssysteme, die das hier vorliegende Problem beschreiben, sind keine linearen Gleichungssysteme.
Gruß
Martin