Bekanntermaßen ergibt sich der Umfang eines Kreises aus der Multiplikation seines Durchmessers mit der Zahl „Pi“.
Als mir dieses kürzlich durch den Kopf ging, fragte ich mich: Ist diese Formel ein „Näherungsverfahren“ oder ist ein Kreisumfang genau genommen nicht endlich. Denn die Multiplikation eines bestimmbaren Faktors (z. B. „1“) mit einem nicht bestimmbaren, weil unendlichen Faktor „Pi“ kann doch unmöglich zu einem endlichen (bestimmbaren/ bestimmten) Wert als Ergebnis führen. Wo ist der Denkfehler?
Die Zahl Pi ist zwar nur darstellbar als nichtperiodischer und nichtendlicher Dezimalbruch, die Zahl Pi selbst ist jedoch eindeutig endlich. Egal, wie genau Du die Zahl als 3.141592654… auch darstellst, eine obere Schranke bildet immer die Zahl 4. Ein Kreis mit dem Durchmesser 1 hat also einen Umfang, welcher = 1*PI und damit kleiner ist als 1*4 = 4, somit also endlich ist, obgleich er nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt werden kann.
Alle Klarheit beseitigt?
Gruß
Ted
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Pi läßt sich zwar nicht als Bruch oder Wurzel darstellen, aber nach deiner Überlegung wären ja auch Brüche wir z.B. 2/3 oder viele Wurzeln „unendliche“ Zahlen und du würdest bei einer Multiplikation mit z.B. 2/3 auf dasselbe Problem stoßen, daß du bei Pi gesehen hast.
Vielleicht hilft das dir ja auch bei deinen Überlegungen, dass es nicht so sein kann…
Pi läßt sich zwar nicht als Bruch oder Wurzel darstellen, aber
nach deiner Überlegung wären ja auch Brüche wir z.B. 2/3 oder
viele Wurzeln „unendliche“ Zahlen und du würdest bei einer
Multiplikation mit z.B. 2/3 auf dasselbe Problem stoßen, daß
du bei Pi gesehen hast.
Der Irrtum besteht in der Verwechslung von „unendlich“ mit „unendlich vielen Nachkommastellen“ (ist eigentlich schon bewiesen worden, daß PI unendlich viele Nachkommastellen hat?). „Unendlich“ bedeutet, daß die Zahl unendlich groß ist, also größer als eine Million, größer als eine Milliarde usw.
Die Zahl PI hingegen ist offensichtlich viel kleiner, als beispielsweise eine Million. Sie hat nur unendlich viele Nachkommastellen.
Ich hoffe, es damit nochmal anschaulich dargestellt zu haben, wenngleich mathematisch nicht ganz korrekt.
… (ist eigentlich schon
bewiesen worden, daß PI unendlich viele Nachkommastellen hat?)
wenn pi endlich viele Nachkommastellen hätte, würde es sich doch um eine rationale (= durch einen Bruch mit ganzem Zähler und Nenner darstellbare) Zahl handeln. Daß pi irrational (und sogar transzendent) ist, ist aber schon länger als 100 Jahre bekannt (Nachweis der Transzendenz durch F. Lindemann 1882).
Was dagegen bisher nicht bewiesen werden konnte, ist, ob etwa eine bestimmte Ziffer (z. B. die „3“) ab einer bestimmten Stelle in der Dezimalentwicklung von pi nicht mehr vorkommt. Daß dem tatsächlich so ist, ist äußerst unwahrscheinlich – zumal man inzwischen schon etliche Stellen explizit ausgerechnet hat und dabei keine einzige Auffälligkeit dieser Art entdecken konnte –, aber, wie gesagt, widerlegen konnte es noch niemand.
Hat mein Kreis eine Lücke oder erreiche ich mit der Kreiszeichnung den Grenzwert von Pi, den Pi selbst nie erreicht?
Andernfalls hat mein Kreis doch wohl eine Lücke, oder?
