Hallo!
Ist diese Gleichung im Komplexen lösbar:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Was meint Ihr?
Viele Grüße,
Hans
Hallo,
Ist diese Gleichung im Komplexen lösbar:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Ja. Wenn du die Wurzel auf die eine und den Rest auf die andere bringst und dann quadrierst hast du eine quadratische Gleichung, die i.A. zwei Lösungen hat. Es kann sein, dass nur eine davon die ursprüngliche Gleichung löst…
Grüße,
Moritz
Hallo an dieser Stelle.:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Ja. Wenn du die Wurzel auf die eine und den Rest auf die
andere bringst und dann quadrierst hast du eine quadratische
Gleichung, die i.A. zwei Lösungen hat. Es kann sein, dass nur
eine davon die ursprüngliche Gleichung löst…
Sieht gut aus. Einfacher wäre die Gleichung, wenn sie x - 1 +Wurzel… hiesse: dann wäre x=3 die Lösung 
mfg M.L.
Hallo,
Ist diese Gleichung im Komplexen lösbar:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Ja.
Doch nicht 
x - 2 = sqrt(2x-5)
(x-2)^2 = 2x - 5
=> x = 3 einzige Lösung.
Aber sqrt(-1) ist nicht definiert => die Gleichung hat keine Lösung. Oder hab ich mich jetzt irgendwo verrechnet? am Wochenende sollte man nicht rechnen („Don’t drink and derive“).
Sorry für meine vorschnelle Antwort
Grüße,
Moritz
Aber sqrt(-1) ist nicht definiert
sqrt(-1) ist selbstverständlich definiert.
die Gleichung hat
keine Lösung.
Die Gleichung hat natürlich eine Lösung, nur daß die Lösung nicht natürlich, sondern komplex ist
MfG
C.
Hallo,
Aber sqrt(-1) ist nicht definiert
sqrt(-1) ist selbstverständlich definiert.
Darüber lässt sich vortrefflich streiten.
„sqrt(a) ist definiert als die nichtnegative Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, a ergibt“. So haben wir das gelernt.
Was meinst du, was sqrt(-1) ist? i oder -i vielleicht? wenn ja, welches, und warum? Soweit ich weiss kann man recht leicht Widersprüche erzeugen, wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt. Wenn es mir wieder einfällt melde ich mich nochmal…
die Gleichung hat
keine Lösung.Die Gleichung hat natürlich eine Lösung, nur daß die Lösung
nicht natürlich, sondern komplex ist
Dann bin ich gespannt auf deine Lösung (inklusive Definition der Wurzel *g*) oder zumindest deinen Existenzbeweis
Grüße,
Moritz
x - 2 = sqrt(2x-5)
(x-2)^2 = 2x - 5
=> x = 3 einzige Lösung.
Aber sqrt(-1) ist nicht definiert => die Gleichung hat
keine Lösung. Oder hab ich mich jetzt irgendwo verrechnet? am
Wochenende sollte man nicht rechnen („Don’t drink and
derive“).
Genau da ist mein Problem: Das Quadrieren im ersten Schritt ist nämlich keine Äquivalenzumformung, das heißt, die Lösungsmenge der ersten Zeile ist nicht unbedingt die gleiche wie in der zweiten. Dass es keine reelle Lösung gibt, sollte klar sein (denn sobald x kleiner als 2,5 wird, erhält man auf der linken Seite der Gleichung einen Imaginärteil und damit eine falsche Aussage). Aber wie sieht es im Komplexen oder in anderen Körpern aus?
Hat jemand eine Idee?
Maple 7.0 liefert für diese Gleichung nämlich auch keine Lösung…
Viele Grüße,
Hans
Hallo Hans!
Wie die untenstehnden Posts richtig demonstrieren erhält man als doppelte Lösung die reelle Zahl 3 bzw. die komplexe Zahl 3 +0*i. Setzt man sie in die Ausgangsgleichung ein erhält man eine falsche Aussage- unabhängig davon, ob man die Gleichung in C oder R betrachtet. Für die Gleichung spielt das gar keine Rolle. In beiden Fällen ergibt sich 5=3 f.A. --> Scheinlösung.
Eine Gleichung wäre nur dann in C, aber nicht in R lösbar, wenn die Lösung der Gleichung eine komplexe wäre oder sich beim einsetzen mehre Wurzeln aus negativen Zahlen ergäben, und die Gleichungen stimmten. Beides ist nicht der Fall, deshalb ändert die Betrachtung in C auch nichts. Das es keine nichtreelle Lösung gibt kannst du direkt aus der Lösungsgleichung ableiten. Wenn die Diskriminante gleich 0 ist, ist die Lösung eine doppelte.
Falk
Hallo Falk!
Das es keine nichtreelle Lösung gibt kannst du direkt aus der
Lösungsgleichung ableiten.
Sorry, ich sehe das leider nicht direkt… kannst Du kurz genau sagen, wie Du darauf kommst?
Viele Grüße,
Hans
Hallo Hans!
Die Lösungsgleichung der sich ergebenden quadratischen Gleichung ist: x1/2=3±Wurzel(0)
–> x1=3 und x2=3
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt, dass eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen in C hat. Durch Quadrieren haben wir eine Gleichung 2ten Grades erhalten. Durch Quadrieren gehen keine Lösungen verloren- es kommen höchstens welche hinzu. Die Lösungsformel für die quadratische Gleichung (2ten Grades) ergab zwei Lösungen (x1=3 und x2=3). Da die Gleichung genau zwei Lösungen hat, und wir zwei gefunden haben, gibt es keine weiteren. Da beide reell sind, gibt es folglich keine nicht-reellen Lösungen. Das beide reell sind sieht man daran, dass die Lösungsgleichung die Form ± .
Viele Grüße,
Falk
Hallo,
eine falsche Aussage). Aber wie sieht es im Komplexen oder in
anderen Körpern aus?
ich kenne mich nicht so wirklich gut mit Algebra aus, aber sagen wir mal das sich die Wurzel in F_2 sinnvoll durch sqrt(1)=1 und sqrt(0)=0 definieren ließe (1*1=1 und 0*0=0) dann kann man einfach mal beide Möglichkeiten einsetzen und erhält 0=1 für x=0 und 1=1 für x=1 hier hätte Deine Gleichung also die eindeutige Lösung x=1.
Wie und ob man für (andere) endliche Körper die Wurzel sinnvoll definieren kann weiss ich nicht genau (z.B. für F_3 d.h. mit 1*1=1=2*2 ginge dies also zumindest nicht über sqrt(a)=b [c*c=a c=b]).
Viele Grüße
Sebastian
Die Lösungsformel für die quadratische Gleichung (2ten
Grades) ergab zwei Lösungen (x1=3 und x2=3). Da die Gleichung
genau zwei Lösungen hat, und wir zwei gefunden haben, gibt es
keine weiteren.
eine einzige reelle nullstelle bei einer quadratischen gleichung ist bereits eine hinreichende bedingung, daß es keine komplexen nullstellen gibt, da diese immer paarweise vorkommen. (kann man sich auch einfach an der parabel vorstellen: eine parabel kruezt immer entweder 1x, 2x oder garkein mal die x-achse)
Hallo Hans,
ich wundere mich, dass dich noch niemand auf die Funktionentheorie aufmerksam machte, immerhin bist du Student und kein Schüler.
Wenn ich Wurzel aus 1 als -1 definiere hat die Gleichung natürlich eine Lösung, nämlich 3. Diese Wurzeldefinition ist zwar total unüblich, aber nicht falsch! Das Problem ist nämlich, dass die Wurzel nicht für alle komplexen Zahlen gleichzeitig als stetige eindeutige Funktion definierbar ist. „Meistens“ definiert man sie, indem man die negativen reellen Zahlen ausnimmt und dann die „gewöhnliche“ Wurzel stetig fortsetzt, aber es geht auch anders.
Fazit: das Problem ist die nicht-Eindeutigkeit der Wurzel. Schau einmal in ein Skript zur Funktionentheorie.
Ciao, Holger
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Jetzt ist Vorsicht geboten!
Hallo Hans!
Ist diese Gleichung im Komplexen lösbar:
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Was meint Ihr?
Für gewöhnlich breche ich bei solchen Problemen gehörig ein. Aber wenn ich das ganz einfach mit algebraischer Umformung angehe, bekomme ich eine gültige Lösung für x = 3!
- die 1 nach rechts : x + Wurzel = 2
- das x nach rechts : Wurzel = (2 -x)
- Quadrieren : 2x - 5 = 4 - 4x + x²
- Umstellen: 0 = x² -2x -4x +4 +5
- Zusammenfassen: 0 = x² -6x +9
- Umformen: 0 = (x - 3)²
Und das gilt für x = 3!
Sollte ich im Eifer des Gefechts einen Fehler gemacht haben, bitte ich um Entschuldigung.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim
Hallo,
- Quadrieren : 2x - 5 = 4 - 4x + x²
das Problem ist, daß Quadrieren i.a. keine Äquivalenzumformung ist.
Viele Grüße
Sebastian
eine einzige reelle nullstelle bei einer quadratischen
gleichung ist bereits eine hinreichende bedingung, daß es
keine komplexen nullstellen gibt, da diese immer paarweise
vorkommen.
Dies gilt nur für quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten (Folgerung aus dem Satz von Vieta).
Die quadratische Gleichung x²+ix=0 hat z.B. eine reelle und eine imaginäre Lösung.
Gruß Frank
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Wenn ich Wurzel aus 1 als -1 definiere hat die Gleichung
natürlich eine Lösung, nämlich 3.
Also wenn ich 3 einsetze, steht da bei mir 5 = 3, sieht nicht nach einer Lösung aus.
Gruß
Oliver
Hallo,
x+1 + wurzelaus(2x-5) = 3 ?
Wenn ich Wurzel aus 1 als -1 definiere hat die Gleichung
natürlich eine Lösung, nämlich 3.Also wenn ich 3 einsetze, steht da bei mir 5 = 3, sieht nicht
nach einer Lösung aus.
also wenn Du die Wurzel tatsächlich so wie Holger definieren würdest stünde da
3+1+(-1)=3 und das stimmt.
Viele Grüße
Sebastian
hmm… ich hab des jetzt mal alles durchgelesen und mich doch auch gewundert…
hier ist doch das spezie Superstar forum für sowas…
was sagt denn der Fundamentalsatz der Algebra?
also die Variante aus der komplexen Funktionentheorie?
(x-3)² hat dann wieviele Nullstellen im komplexen?
-genau. zwei.
eine ist x1=3 an der anderen bin ich dran…
bis gleich
so ein blödsinn… einfach ignorieren bitte. (owt)
.