Ist ein Beweis hier möglich?

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe User,

ich bin gerade am Verzweifeln (mache gerade ein bisschen Mathematik-Auffrischung für anstehende Mathematiknachhilfe für eine Schülerin (Jgst. 12)), denn ich habe folgende Gleichung: f(x) = cos(x) / (1-sin(x))

Nun will ich - ungeachtet der Aufgabenstellung, die das nichtmal vorsieht - beweisen, dass die Funktion, die dabei entsteht, gleich der Funktion t(x)= tan((1/2)*(x-(pi/2))) ist…

Durch Zeichnung ist das kein Problem und auch beim Gleichsetzen erhalte ICH am Schluss den Ausdruck 1-sin(x)=cos(x)… (Da mir der trigonometrische Pythagoras noch bekannt ist, kann ich sagen: „Der Ausdruck stimmt --> qed.“, aber ein Beweis ist das ja „weiß-Gott“ nicht, weil ich von vornherein annehme, dass f(x)=t(x) gilt…

Wie ich auf die Funktion t(x) gekommen bin?! Durch, mein ehemaliger Mathelehrer würde es, die Holzhammermethode nennen^^

t(x) = a * tan(b(x+c))+ d und dann durch Betrachtung des Graphen von g(x) einfach bisschen herumbasteln… a=1; b=1/2; c=pi/2; d=0

Kann mir irgendjemand helfen, bitte? Geht mir darum wie ich so einen Beweis am besten ansetze…

Hinweis, mein Abi (M/Politik LK) liegt 2 Jahre zurück und ich habe noch immer Interesse am Fach, doch mein Jura-Studium verflüchtigt mein Wissen immer mehr^^ Also wäre ein Ansatz, den man als „Hochschulfremder“ Mathematiker noch versteht am sinnvollsten *g*

Vll hat jemand Zeit und Lust mir zu helfen?!

Danke.
Dennis S.

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Hallo, Dennis!
Es ist durchaus legitim, einen Beweis mit einer Hypothese der Form f(x)=t(x) zu beginnen und diese ausschließlich durch Äquivalenzumformungen(!) auf eine bekannte Aussage zurückzuführen. Dadurch, dass man nur Äquivalenzumformungen verwendet, kann man ja den ganzen Weg dann auch wieder rückwärts gehen.
Allerdings wundert mich das Ende deiner Schlussfolgerungen, denn der Pythagoras sagt doch 1-sin(x)^2=cos(x)^2 und nicht 1-sin(x)=cos(x). Oder habe ich dich da falsch verstanden?
Herzliche Grüße
Uwe

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Hallo,

f(x) = cos(x) / (1-sin(x))

… beweisen, dass die Funktion, die dabei entsteht, gleich der
Funktion t(x)= tan((1/2)*(x-(pi/2))) ist…

um das zu zeigen, kommt man um eine gewisse Portion Rechnerei nicht herum. Zu der Methodik hat Uwe schon das genau Richtige gesagt (seine Bemerkung zum „Auf-den-Kopf-stellen“ eines Beweises).

Im Folgenden sei s := sin(x) und c := cos(x).

–––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)  [:diamonds:]
–––––––––––––––––––––––––––––––

[:diamonds:] ⇒ [1] cos(x + y) = cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)

[:diamonds:] ⇒ [2] sin(2 x) = 2 s c
[1] ⇒ [3] cos(2 x) = c² – s²

(2)(3) ⇒ sin(2 x)/(1 + cos(2 x)) = tan(x)

⇒ s/(1 + c) = tan(x/2)

⇒ c/(1 – s) = tan(x/2 + π/4)

Beweise:

cos(x + y)
  = sin(x + y + π/2)
  = sin((x + π/2) + y)
  = sin(x + π/2) cos(y) + cos(x + π/2) sin(y)
  = cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y)

sin(2 x)
  = sin(x + x)
  = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
  = 2 s c

cos(2 x)
  = cos(x + x)
  = cos(x) cos(x) – sin(x) sin(x)
  = c² – s²

sin(2 x)/(1 + cos(2 x))
  = (2 s c)/(1 + c² – s²)         (1 = s² + c², trigonometr. Pythagoras)
  = (2 s c)/(s² + c² + c² – s²)
  = (2 s c)/(2 c²)
  = s/c
  = tan(x)

s/(1 + c) = tan(x/2) ist klar (ersetze x durch x/2)

c/(1 – s)
  = sin(x + π/2)/(1 + cos(x + π/2))
  = tan((x + π/2)/2)
  = tan(x/2 + π/4)

Gruß
Martin

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Hallo und danke für beide Antworten!
Also, Pardon ersteinmal die letzte Zeile meiner Rechnung ist natürlich noch mit dem „Quadrat“ versehen… Also 1-sin²(x)=cos²(x)!

Und vielen vielen Dank für den Beweis durch Martin… Ich werde das Ganze jetzt noch einmal gründlich durchgehen bin mir hier und da noch unschlüssig, aber das ist kein Wunder nachdem ich ewig keine Beziehung mehr dazu hatte …

Vielen lieben Dank,
Dennis S.