Hi^^, habe gerade mit meinem Studium angefangen und nun sollen wir fuer Algebra diese Aufgabe loesen ob r eine Aeuquivalenzrelation auf der menge x ist. Ich hab aber keine Ahnung wie ich das machen und dann begruenden soll… Und zwar fuer a)X=Z(ganze zahlen) x~y genau dann wenn |y-3| groesser gleich 3. b) X=Q(zahlen) x~y genau dann wenn y-x eine ganze Zahl c) X=N(natürliche z.). x~y genau dann wenn weder x=2 noch y=2 gilt. d)X=Z. x~y genau dann wenn x(y-2)=y(x-2) gilt. Muss ich dafür einen Beweis durchfuehren? Wir haben oft Beweise durch widersprueche gemacht, das hab ich hier auch versucht, aber so richtig geklappt hat das nicht, geht das damit ueberhaupt? Ich hoffe jemand von euch kann mir das bitte erklaeren, da ich das bis Freitag hinbekommen muss und das natuerlich auch verstehen moechte… Bye und danke schon mal^^
Liebe® Sayuri113,
um eine Äquivalenzrelation nachzuweisen, mußt Du lediglich drei Eigenschaften zeigen:
(i) Reflexivität (a~a)
(ii) Symmetrie (a~b b~a)
(iii) Transitivität (a~b und b~c ==> a~c)
Deine erste Aufgabe beispielsweise:
(a) Wähle etwa y=0, also |y-3| sicherlich
Hallo nochmal,
mein Gegenbeispiel bei (a) war etwas ungünstig gewählt (hatte den Betrag übersehen). Aber für y=1 funktioniert es wieder…
Viele Grüße,
Christian
Danke schone fuer die super-schnelle antwort^^! du hast mir auf jeden Fall schon mal weiter geholfen, dann probier ich mich jetzt mal selber an den anderen.danke nochmal! Lg sayuri
Eine Frage hab ich doch noch dazu. wenn ich y= 1 nehme, warum ist y dann nicht aequivalent zu sich selbst?
Hallo,
es gilt: y~y |y-3| >= 3. Für y=1 ist aber |1-3|=2
Huhu Sayuri113.
ich schreib gleich mal rein. aber vorher noch der hinweis, ich will die aufgabe nicht für dich lösen. am anfang des mathe studiums kann es oft verwirrend oder schwer sein, sich diese abstrakten konzepte reinzuziehen. manche unis bieten dann tutorien an oder es kann auch sinnvoll sein sich mit komilitonInnen zusammenzusetzen und sich gegenseitig die sachen zu erklären. es ist aber alles gewohnheitssache (denke ich). ok jetzt zum mathe:
Hi^^, habe gerade mit meinem Studium angefangen und nun sollen
wir fuer Algebra diese Aufgabe loesen ob r eine
Aeuquivalenzrelation auf der menge x ist. Ich hab aber keine
Ahnung wie ich das machen und dann begruenden soll… Und zwar
fuer
a)X=Z(ganze zahlen) x~y genau dann wenn |y-3| groesser
gleich 3.
b) X=Q(zahlen) x~y genau dann wenn y-x eine
ganze Zahl
c) X=N(natürliche z.). x~y genau dann wenn weder
x=2 noch y=2 gilt.
d)X=Z. x~y genau dann wenn
x(y-2)=y(x-2) gilt. Muss ich dafür einen Beweis durchfuehren?
Wir haben oft Beweise durch widersprueche gemacht, das hab ich
hier auch versucht, aber so richtig geklappt hat das nicht,
geht das damit ueberhaupt? Ich hoffe jemand von euch kann
mir das bitte erklaeren, da ich das bis Freitag hinbekommen
muss und das natuerlich auch verstehen moechte… Bye und
danke schon mal^^
Die definition von äquivalenzrelation ist ja bestimmt gesetzt worden als
reflexiv: für alle x\in X: x~x
transitiv: für alle x,y,z\in X: falls x~y und y~z dann auch x~z
symmetrisch für alle x,y\in X: falls x~y dann auch y~x
jetzt zeigste die eigenschaften für die angegebenen relationen.
z.b.
a) relation auf X=Z: x~y genau dann wenn |y-3|größergleich 3. ist das richtig gestellt? oder soll es heissen |y-x| größergleich 3?
nagut also zu
b) X=Q und x~y gdw y-x ganze zahl. oki, also testen ob
reflexiv, also für alle x\in Q : x~x?
also ist x-x ne ganze zahl? offenbar ja: die Null.
transitiv: also für alle x,y,z \in Q: falls x~y und y~z dann auch x~z
also: falls y-x ne ganze zahl und z-y ne ganze zahl, ist dann auch z-x ne ganze zahl?
offenbar schon denn: z-x = (z-y) + (y-x) und die beiden geklammerten terme sind ganze zahlen, also auch deren summe.
symmetrie ist nun leicht, oder?
das ist also das vorgehen.
die drei eigenschaften vergleichen (manchmal wird äquivalenzrelation auch mit antisymmetrie statt symmetrie definiert) und das dann auf die konkrete relation anwenden, also in der definition von symmetrie z.b. dann x~y folgt y~x ersetzen mit ‚y-x ist ganz folgt x-y ist ganz‘. das ist eine konkrete aussage über zahlen (hier Q) und die kann man dann einfach beweisen oder eben auch widerlegen mit nem gegenbeispiel.
soviel erstmal, viel glück beim knobeln.
an wieviele leute hast du die frage eigentlich geschickt? nur mal interessehalber…
gruss, pauline
Hi^^, oja, du hast recht, da hab ich mich verschrieben, ads sollte wirklich |y-x| groessergleich 3 sein. An niche so viele ich glaube 4 Oder fuenf, Weil ich ja night wusste ob jemand zeitgeist fuer sowas hat… Aber danke fuer deine hilfe^^ ich wollte auch nicht einfach loesungen praesentiert haben, sondern es ja auch irgendwie verstehen, jetzt probier ich es mal mit den anderen Aufgaben.danke schoen nochmal! LG Sayuri
Hi sayuri113,
Eine Äquivalenzrelation ist definiert durch bestimmte Bedingungen:
- Reflexivität (a~a)
- Symmetrie (a~b => b~a)
- Transitivität (a~b und b~c => a~c)
Diese drei Bedingungen musst Du für jede Relation prüfen. Entweder für alle beweisen oder ein Gegenbeispiel finden.
Z.B. in a)
Wenn ich die Definition richtig verstanden habe, ist x beliebig. Sei x=0 und y = 9. Dann wäre x~y, denn |y-3| = 6 >= 3. Erfüllt also die gestellte bedingung. Aber es gilt nicht y~x (Symmetrie), denn |x-3|=3 ist nicht größer gleich 3.
zu b)
- Refl.: sei x aus Q (rationale Zahlen) beliebig. Dann ist x-x=0 also eine ganze Zahl
=> x~x - Symm.: Sei x~y, dann ist x-y aus Z (ganze Zahl), dann ist y-x = -(x-y) auch aus Z (ganze Zahl, Z ist eine Gruppe), also ist y~x
- Transit.: Seien x~y und y~z. dann ist y-x aus Z und z-y aus Z, also ist (z-y) + (y-x) = z-x aus Z (Z ist eine Gruppe).
=> x~z
Also sind alle drei Bedingungen erfüllt und die definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation.
Kommst du nun mit c) und d) weiter?
Hi, oh bei der a) hab ich mich tatsächlich vertippt, sorry, das sollte eigentlich |y-x| heißen… Danke schoen aber trotzdem, ich werd es anhand deines Beispiels bei b mal probieren mit den anderen^^ LG Sayuri
Ah, da macht die Aufgabe mehr Sinn.
Kleiner Tipp: bei a) hakt es dann bei der Transitivität…
Gruß
Marc
Hi, oh bei der a) hab ich mich tatsächlich vertippt, sorry,
das sollte eigentlich |y-x| heißen… Danke schoen aber
trotzdem, ich werd es anhand deines Beispiels bei b mal
probieren mit den anderen^^ LG Sayuri
Ich hab das mal fuer d probiert wo x~y wenn x(y-2)=y(x-2) bei X=Z. Also bei der reflexivitaet hab ich x(y-2)=y(x-2). ->. x(y-2)/(x-2)=y. Das hab ich dann eingesetzt: x(y-2)=x(y-2)/(x-2) *(x-2). Und daraus ergibt sich x=x also ist es reflexiv. Fuer die symmetrie hab dann x(y-2)=y(x-2). -> xy-2x=xy-2x. -> x=y und dami ist es x(x-2)=y(y-2) und y(y-2)=x(x-2) also ist es symmetrisch. Fuer transitivitaet hab ich dann ein neues z also z(y-2)=y(z-2) daraus kommt dann das z=y und wenn x=y ist x= z also x~z damit waere es Dan transitiv und weil alles erfuellt ist, sind x und y aequivalent. Ist das richtig so?
Nicht ganz:
-
Reflexivität:
Zu prüfen ist, ob x~x. In diesem Fall ist x~y x(y-2)=y(x-2) also x~x x(x-2)=x(x-2) (für y einfach x einsetzen). Dies ist offenbar erfüllt. -
Symmetrie:
Sei x~y also x(y-2)=y(x-2) daraus folgt (Gleichzeichen umgedreht) y(x-2)=x(y-2). Also auch (per Definition) y~x. Das ist ein bißchen technisch (und wirkt auch kleinkrämerisch, man muss sich aber genau an die Definition halten) -
Transitivität
Seien x~y und y~z.
Dann ist
I. x(y-2) = y(x-2) und
II. y(z-2) = z(y-2).
Wenn wir jetzt zeigen könnten, dass daraus folgt x(z-2)= z(x-2). Dann haben wir gewonnen.
Aus I. folgt x = y(x-2)/(y-2)
Aus II. folgt z-2 = z(y-2)/y
Also x(z-2) = y(x-2)/(y-2) * z(y-2)/y
= yz(x-2)(y-2) / (y-2)y
= z(x-2)
w.z.b.w. (was zu beweisen war)
Beim Beweis der drei Merkmale geht es darum aus der Annahme der Relation die Folgerung zu schließen. D.h. ich nehme an, dass x~y , daraus folgt dass sich x und y in bestimmter Weise zueinander verhalten (z.B. dass x(y-2)=y(x-2) gilt), und daraus muss dann (irgendwie) gefolgert werden, dass y~x gilt (bei Symmetrie).
Bei Transitivität nimmt man x~y und y~z mit den entsprechenden Bedingungen an, und daraus muss dann x~z gefolgert werden.
Ah okay, so sieht das auch viel einfacher aus als meins. Jetzt versteh ich das ganze auch. Danke schoen! Du hast es mir wirklich weiter geholfen! Lg sayuri