Iterationsproblem

Wissenschaft Physik
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Hallo,

würde mich freuen wenn mir jemand bei diesem sicher lösbarem Problem helfen könnte.

folgende Gleichung soll gelten:
Xt = 0,4 * (1 - Xt-1) //t ist Zeitindex
und Xt = 0 bei t=0

ich hätte gerne eine Formel, die mir X berechnet bei gegebenem t.

Z.B.: t = 3
-> X3 = 0,4 * (1 - (0,4 * (1 - (0,4 *(1 - 0)))

Bei steigendem t wird diese Gleichung natürlich unendlich lang.
Deshalb suche ich eine Formel die diese Gleichung in Abhängigkeit von t darstellt.

Zusataufgabe: Als zweiten Wert suche ich eine Zahl Zt als Summe der Xt. Also Z3 = Xt0 + Xt1 + Xt2 + Xt3
Wenn man die obige Formel hat, ist es wohl ein leichtes die zweite zu finden.

Schonmal vielen Dank für eure Bemühungen.

Gruß

Musti

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Es handelt sich hier eigentlich nicht um eine Iteration, sondern um die rekursive Darstellung einer Reihe. Aus der gegebenen Bildungsvorschrift für die Reihe ergibt sich folgendes :
x0 = 0
x1 = 0,4
x2 = 0,4-0,4^2
x3 = 0,4-0,4^2-0,4^3
.
.
.

Dieses kann man auch folgendermassen darstellen :

(I) Xn = 0,4 - SUMME (0,4^k) für k von 2 bis n

SUMME (0,4^k) für k von 2 bis n wiederum lässt sich folgendermassen darstellen :

[SUMME (0,4^k) für k von 0 bis n]- 1 - 0,4
= [SUMME (0,4^k) für k von 0 bis n]-1,4

Eingesetzt in die obige Formel I ergibt sich also :

Xn = 1,8 - [SUMME (0,4^k) für k von 0 bis n]

SUMME (0,4^k) für k von 0 bis n ist jedoch eine endliche geometrische Reihe, die man als geschlossenen Ausdruck darstellen kann :

[SUMME (0,4^k) für k von 0 bis n] = ((0,4^(n+1))-1)/(0,4-1)

(ich hoffe, Du kannst diese Darstellung entziffern - schreibs einfach mal als Bruch, dann wirds übersichtlicher )

Also ergibt sich als geschlossener Ausdruck für Deine rekursiv dargestellte Reihe ( allerdings nur für n>1 ) folgendes :

0,4^(k+1)-1
--------------------------- +1,8 = Xn
0,6
(ich hoffe, man kann es einigermassen lesen)

Hiermit wäre der erste Schritt zur Lösung Deines Problems getan.

Gruss,

Jürgen

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3

Danke dir!
*RESPEKT*

-)

Gruß
Musti

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Hab Dir die restliche Lösung als E-mail geschickt. Hoffe, sie ist gut angekommen ?!?

Gruss,

Jürgen

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