Jede lineare Abbildung ist stetig?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
eine lineare Abbildung ist homogen(1) und additiv(2).
Wenn man jetzt beweisen möchte, dass jede lineare Abbildung stetig ist, dann darf man ja bloß diese beiden Eigenschaften verwenden.
Mein Versuch ist folgender:
Sei f eine lineare Abbildung

0 0 für x->x0 mit (1).

Mein Problem ist nur, dass man ja im letzten Schritt, wenn man also nur noch ein bisschen vor x0 ist, auch die Abbildung nur bisschen von 0 unterscheidet.
Wie beweist man das nur mit den obigen Voraussetzungen?
Immerhin ist g: Abb(R,R)->Abb(R,R) mit p(x)|-> p(x^5) auch eine lineare Abbildung, die besagt: Ist eine Funktion in einem Epsilonschlauch um p(x), so ist auch diese Funktion in einem Epsilonschlauch um p(x^5), weil ja jede lineare Abbildung stetig ist.
Also Beweise mit Matrizen sind ja nur ein Spezialfall einer linearen Abbildung.

Wie geht das?
Vielen Dank
Tim

#2

Hi,

diese Aussage ist nur für endlichdimensionale Vektorräume richtig. Da kann man das mit der Koordinatendarstellung der Abbildung z.B. für die Maximumsnorm beweisen und danach verwenden, dass alle Normen äquivalent sind.

Die Ableitung von Polynomen und Potenzreihen ist z.B. linear, aber nicht stetig.

Gruß Lutz

#3

Die Ableitung von Polynomen ist z.B. linear,
aber nicht stetig.

Hallo Lutz,
könntest du vielleicht ganz kurz sagen, warum?
Ein Link oder so würde mir auch schon reichen, ich weiß nicht, wie umfangreich der Beweis ist… :smile:

Danke und Gruß
Granini

#4

Die Ableitung von Polynomen ist z.B. linear,
aber nicht stetig.

Hallo Lutz,
könntest du vielleicht ganz kurz sagen, warum?

Hallo ihr zwei !

Ich glaube ich habe ein Beispiel gefunden, das es verdeutlicht.
Dass die Ableitung linear ist, ist denke ich klar.

(\alpha f+\beta g)’(x)=\alpha f’(x)+\beta g’(x)

Jetzt betrachte man für 0f:frowning:0,1)\rightarrow (0,1)\text{ mit }f(x)=\epsilon\sqrt{x}

und

g:frowning:0,1)\rightarrow (0,1)\text{ mit }g(x)=\epsilon x

Als Norm nehme man die Supremumsnorm.
Es gilt

\Vert f-g\Vert=\sup\limits_{x\in (0,1)}\vert f(x)-g(x)\vert=\frac{\epsilon}{4}\rightarrow 0\text{ f"ur }\epsilon\rightarrow 0

aber

\Vert f’-g’\Vert=\sup\limits_{x\in (0,1)}\vert f’(x)-g’(x)\vert=\sup\limits_{x\in (0,1)}\vert\frac{\epsilon}{2\sqrt{x}}-\epsilon\vert=\infty\ \ \forall\epsilon\in (0,1)

denn

\vert\frac{\epsilon}{2\sqrt{x}}-\epsilon\vert\rightarrow\infty\text{ f"ur }x\rightarrow 0

Ableiten ist also keine stetige Operation.

Grüße

hendrik

#5

Ableitung d. Polynome unstetig Beweisidee richtig?
Hallo,
danke fürs Beispiel,
aber wie würde man das jetzt für alle Polynome zeigen?

Also meine Beweisidee wäre,
dass man ein Polynom mit x0 und eins mit x hat. Geht jetzt x->x0, dann geht die Differenz der Polynome auch gegen Null, da x^n stetig ist.

Die Norm sei mal die Betragsfunktion, weil ja die Polynome auf R abbilden.

Leitet man aber jetzt ab, dann ist jedes Polynom ja nur um ein Grad erniedrigt, aber x^0 ist ja jetzt x^-1. Das ist für 0 nicht definiert und deshalb nicht stetig?
Denn wenn man sagt 1/x soll Null sein oder jede andere Zahl für x=0, dann ist das ja nicht stetig, weil 1/x gegen Unendlich geht, wenn x0 gegen 0 geht.

Stimmt das so ungefähr?

#6

Hi,

vielleicht waren Polynome nicht so anschaulich. Man muss da die Norm über die Koeffizientenfolge definieren.

Allgemein, aber das ist evtl. auch noch nicht Stoff, ist eine lineare Abbildung genau dann stetig, wenn sie Lipschitzstetig ist, gdw. sie eine endliche Operatornorm besitzt.

Nun betrachte auf einem endlichen Intervall die Funktionen sin(kx) und warum deren Ableitungen in der Supremumsnorm keine Lipschitzkonstante bzw. Operatornorm für den Ableitungsoperator zulassen.

Gruß Lutz

#7

Also meine Beweisidee wäre,
dass man ein Polynom mit x0 und eins mit x hat. Geht jetzt
x->x0, dann geht die Differenz der Polynome auch gegen Null,
da x^n stetig ist.

Das funktioniert so nicht, denn der Abstand zweier Funktionen an einem bestimmten Punkt ist keine Norm.

Die Norm sei mal die Betragsfunktion, weil ja die Polynome auf
R abbilden.

Ich verstehe nicht was du meinst. Du musst ja definieren was du unter der Norm einer Funktion verstehst, du musst also einer Funktion eine reelle Zahl zuordnen.

Leitet man aber jetzt ab, dann ist jedes Polynom ja nur um ein
Grad erniedrigt, aber x^0 ist ja jetzt x^-1.

Nein, x0 wird abgeleitet zu 0 und nicht zu x-1.

Gruß

hendrik

#8

Hallo,
ich komm leider nicht drauf,
kann man das bitte mal exemplarisch sehen oder eine „anschauliche“ Erklärung, warum das nicht stetig ist?

Muss man dafür irgendwie integrieren um das zu sehen? Wenn ja, dann ist das tatsächlich noch Stoff, der in naher Zukunft dran kommt.

#9

Hi,

wir betrachten den Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf [0,1] mit der Supremumsnorm. Die Ableitung ist darauf offensichtlich linear. Um direkt mit der Folgenstetigkeit zu argumentieren, ändern wir nochmal das Beispiel und betrachten die Funktionenfolge

f_n(x)=\frac1n\cdot\sin(nx)

Diese ist offensichtlich eine Nullfolge in der Supremumsnorm. Wäre die Ableitung stetig, so müsste die Ableitungsfolge gegen die Ableitung der Nullfunktion, also selber die Null, konvergieren. Die Ableitungen sind aber

f_n’(x)=\cos(nx)

Da konvergiert nichts, und die Normen sind konstant 1, bewegen sich also auch nicht in Richtung Null.

Gruß Lutz