Juhu, das Ziegenproblem... schon wieder :)

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich hab letzte Woche den Film 21 gesehen, wo diese Problematik angesprochen wurde. Mein Problem ist, dass ich zwar verstehe, warum die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen höher ist, wenn ich wechsle, jedoch habe ich das Gefühl, dass wir da etwas übersehen.

Bisher ist es ja so:

1-2-3 (die Tore)
Z-Z-A (Z=Ziege, A=Auto)

Ohne wechseln, Gewinnchance 1/3
K-M-X : (K=Kandidat, M=Moderator) verloren
M-K-X : verloren
M-X-K : gewonnen

Mit wechseln, Gewinnchance 2/3
K-M-k : (K=ursprünglich, k=gewechselt) Kandidat gewinnt
M-K-k : Kandidat gewinnt
M-k-K : Kandidat verliert

Jetzt zu dem, was wir meiner Meinung nach übersehen:
Im jeweils letzten Fall hat der Moderator doch zwei Möglichkeiten, eine Ziege zu zeigen. Das würde bedeuten, dass ich ohne wechseln auch zweimal die Chance habe zu gewinnen, und mit wechseln zweimal verlieren kann. Oder warum wird die Möglichkeit nicht mit in die Situation aufgenommen, dass der M im letzten Fall statt Tor 1 Tor 2 öffnet?

Des weiteren habe ich mir darüber Gedanken gemacht, wie die Lösung aussieht, wenn man sie „von außen“ betrachtet. Jetzt geht es mir also nur um die Situation, wenn man wechselt. Denn, wenn man wechselt hat man ja 2/3 Chance auf den Gewinn.

Betrachten wir dazu folgende Situation:

Z-Z-A
–M-K entweder so
M—K oder so

Laut Lösung hätte der K in beiden Fällen 2/3 Chance auf den Gewinn, wenn er wechselt. Wenn ich die Situation jetzt aber von beiden Seiten betrachte (eine hatten wir ja vorher immer übersehen) dann hätte ich gleichzeitig zweimal 2/3 Chance zu gewinnen. Das geht doch gar nicht. Für mich sieht das in etwa so aus als würde man etwas Teilen und hätte immer zwei Teile die zusammen größer als das Ganz sind.

Also entweder sehe ich hier irgendwas komplett falsch, oder es ist einfach schon zu spät um sich mit solchem Kram zu beschäftigen. :wink: Interessant ist es allemal.

Wäre lieb, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen kann. Vielen Dank im Voraus. :smiley:

Grüße,
Rogge

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Re: Juhu, das Ziegenproblem… schon wieder :smile:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

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Re^2: Juhu, das Ziegenproblem… schon wieder :smile:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

Ach na auf Wiki hätte ich auch kommen können…

Extra für dich habe ich auch einen Link, genauso schön verpackt wie der deine… http://de.wikipedia.org/wiki/Umgangsformen Haben wir beide was gelernt, hoffe ich jedenfalls. :wink:

In diesem Sinne,
ich wünsche eine gute Nacht.

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M-k-K : Kandidat verliert

Jetzt zu dem, was wir meiner Meinung nach übersehen:
Im jeweils letzten Fall hat der Moderator doch zwei
Möglichkeiten, eine Ziege zu zeigen. Das würde bedeuten, dass
ich ohne wechseln auch zweimal die Chance habe zu gewinnen,
und mit wechseln zweimal verlieren kann. Oder warum wird die
Möglichkeit nicht mit in die Situation aufgenommen, dass der M
im letzten Fall statt Tor 1 Tor 2 öffnet?

der kandidat wählt zuerst tor 2, wenn ich deine notationsweise richtig verstehe. der moderator öffnet ja immer eine der beiden anderen tore, in dem fall also 1 (hinter 3 ist ja das auto). er kann gar nicht tor 2 öffnen, das hat ja der kandidat ursprünglich gewählt.

Laut Lösung hätte der K in beiden Fällen 2/3 Chance auf den
Gewinn, wenn er wechselt. Wenn ich die Situation jetzt aber
von beiden Seiten betrachte (eine hatten wir ja vorher immer
übersehen) dann hätte ich gleichzeitig zweimal 2/3 Chance zu
gewinnen. Das geht doch gar nicht.

er hat in jedem fall 2/3 chance zu gewinnen und 1/3 zu verlieren, weil er ja nix über die tore weiß. wir wissen aber, wo die ziegen und das auto versteckt sind, und daher hat er von uns aus gesehen immer entweder 0 oder 100% chance zu gewinnen, wenn er wechselt - nur kommen die 100% eben in 2/3 aller fälle vor.

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Hallo,

stell dir die Sache mal anders vor.
Es gibt 1.000.000 Tore, dahinter sind 1 Auto und 999.999 Ziegen.
Der Kandidat wählt ein Tor und der Moderator streicht 999.998 Ziegen weg.
Spätestens hier fällt auf das die Chance ohne zu wechseln 1 zu 999.999 ist und die Chance mit wechseln um einiges größer ist.
(So hat das bei uns im Englisch-Unterricht jeder verstanden^^)

Grüße,
Steve

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Im jeweils letzten Fall hat der Moderator doch zwei
Möglichkeiten, eine Ziege zu zeigen.

Das heißt, du hast auf Anhieb das Auto gewählt. Dafür ist die Chance 1/3.

Das würde bedeuten, dass
ich ohne wechseln auch zweimal die Chance habe zu gewinnen,

?
Das weißt du doch gar nicht. Deine Chance, dass du eine Ziege gewählt hast, ist trotzdem noch 2/3. Nur, dass du - ohne es zu wissen - das dritte Drittel genommen hast.

und mit wechseln zweimal verlieren kann.

Im Endeffekt ja.
Aber das ändert ja nichts an der Chance von 2/3, eine Ziege gewählt zu haben.
In 1/3 der Fälle hast du eben das Auto zuerst. Auch das wird hin und wieder vorkommen und dann wird das wechseln zwar von dir aus gesehen die Chance erhöhen, aber es wird der unwahrscheinlichere Fall eintreten, dass du eine Ziege wählst.

Oder warum wird die
Möglichkeit nicht mit in die Situation aufgenommen, dass der M
im letzten Fall statt Tor 1 Tor 2 öffnet?

Was würde das denn ändern?
2/3 zu 1/3 bleibt ja.

Für mich sieht das in etwa
so aus als würde man etwas Teilen und hätte immer zwei Teile
die zusammen größer als das Ganz sind.

Nein, es ist ein _Wechsel_.

  1. Du wählst eine beliebige Tür. Du hast 2/3 Chance, dass dahinter eine Ziege ist.
  2. Der Moderator macht eine Ziege auf. Du weißt also, dass 1/3 der 2/3 schon weg sind. Also hast du plötzlich nur noch das restliche Ziegendrittel der Chance auf deiner Tür.
    Du hast jetzt eben 1/3 Chance, dass du die Ziege hinter deiner Tür hast. Schon rein logisch betrachtet kann die andere Tür jetzt also nur 2/3 Auto sein. Weil der Moderator hat aktiv deine Chance, dass du eine Ziege genommen hast, verdoppelt.
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Deine Frage bezieht sich darauf, dass die Entscheidung des Moderators nicht Bestandteil des Wahrscheinlichkeitsexperiments ist.

Wenn man jetzt die Regel hinzufügt, dass der Moderator eine Münze wirft, falls er zwei Tore zur Auswahl hat, kommt ein 1/2 hinzu und das Ganze sieht wie folgt aus:

1-2-3 (die Tore)
Z-Z-A (Z=Ziege, A=Auto)

Ohne wechseln, Gewinnchance 1/3
K-M-X : (K=Kandidat, M=Moderator) verloren W'keit= 1/3
M-K-X : verloren W'keit= 1/3
M-X-K : gewonnen W'keit= 1/3 \* 1/2 
X-M-K : gewonnen W'keit= 1/3 \* 1/2 

Mit wechseln, Gewinnchance 2/3 (K=ursprünglich, k=gewechselt)
K-M-k : Kandidat gewinnt W'keit= 1/3
M-K-k : Kandidat gewinnt W'keit= 1/3
M-k-K : Kandidat verliert W'keit= 1/3 \* 1/2 
M-k-K : Kandidat verliert W'keit= 1/3 \* 1/2

Jetzt müßten (?) alle Fälle berücksichtigt sein.

Des weiteren habe ich mir darüber Gedanken gemacht, wie die
Lösung aussieht, wenn man sie „von außen“ betrachtet. Jetzt
geht es mir also nur um die Situation, wenn man wechselt.
Denn, wenn man wechselt hat man ja 2/3 Chance auf den Gewinn.

Betrachten wir dazu folgende Situation:

Z-Z-A
–M-K entweder so
M—K oder so

Laut Lösung hätte der K in beiden Fällen 2/3 Chance auf den
Gewinn, wenn er wechselt. Wenn ich die Situation jetzt aber
von beiden Seiten betrachte (eine hatten wir ja vorher immer
übersehen) dann hätte ich gleichzeitig zweimal 2/3 Chance zu
gewinnen. Das geht doch gar nicht. Für mich sieht das in etwa
so aus als würde man etwas Teilen und hätte immer zwei Teile
die zusammen größer als das Ganz sind.

Da der Moderator eine Münze wirft, wird aus 2/3 * 1/2 = 2/6.
Und 2 * 2/6 ergibt wieder 2/3 :smile:

Hoffe, dass das Deine Zweifel ausräumt.

Grüße
Thorsten