Bei uns in der Vorlesung hatten wir eine w0 so definiert:
f hat im Punkt z0 aus IC eine w0 Stelle
f(z0) - w0 = 0
Was ist jetzt genau mit einer k-fachen w0 Stelle gemeint?
Heißt das jetzt
f(z0) - w0k = 0
oder
[f(z0)]k - w0 = 0
oder doch lieber
[f(z0k) - w0 = 0
Der Begriff entstammt übrigens aus der Funktionentheorie, der mir bei folgendem Satz aufgefallen ist:
f habe im Punkt z0 eine k-fache (k aus IN) w0 Stelle. Dann existiert eine offene Menge G0 mit
z0 aus G0 Teilmenge von G mit der Eigenschaft: f nimmt auf G0 jeden Wert w aus f(G0) \ {w0} genau k mal an.
einfacher wirds, wenn du dir die Bedignung etwas verändert ansiehst:
f hat im Punkt z0 aus IC eine w0 Stelle
f(z0) = -w0
und bedenkst, dass f stetig sein muss.
Dann ist das nichts weiter als folgendes:
f nimmt den Wert w0 k-mal an (manchmal auch als Häufungspunkt bezeichnet)
Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung von z0 (G0), so dass f(G0) in eine Umgebung von
w0 bagebildet wird, also jedes Element w von G0 auch wieder eine k-fache f(w)-Stelle ist.
natürlich kann es immer vorkommen, dass unterschiedliche Mathematiker denselben Begriff verschieden definieren – aber aus meiner Sicht kann eine k-fache w0-Stelle auch dann vorliegen, wenn w0 nur einmal angenommen wird.
Die Definition, die ich dabei im Kopf habe, will ich mal schrittweise darlegen, angefangen mit Nullstellen.
Klar dürfte sein: f(z) hat eine Nullstelle in z0, wenn f(z0)=0 gilt.
f(z) hat nun eine doppelte Nullstelle in z0, wenn sich g(z)=f(z)/(z-z0) in z0 so zu ĝ(z) stetig fortsetzen lässt, dass ĝ(z0)=0 gilt.
Dazu erst einmal ein einfaches Beispiel:
f(z)=z² hat eine Nullstelle in z0=0. g(z)=z²/z ist in z0=0 nicht definiert, lässt sich aber dort stetig zu ĝ(z)=z fortsetzen, und ĝ(0)=0, also hat f in 0 eine doppelte Nullstelle.
Nun definiert man eine k-fache Nullstelle: f hat in z0 eine k-fache Nullstelle, falls g(z)=f(z)/(z-z0)^(k-1) in z0 stetig fortsetzbar ist und die Fortsetzung dort den Wert 0 annimmt. Als einfaches Beispiel könnte man sehen, dass f(z)=z^5 in z0=0 eine fünffache Nullstelle hat.
Und nun zur w0-Stelle: f besitzt in z0 eine k-fache w0-Stelle, falls g(z)=f(z)-w0 in z0 eine k-fache Nullstelle besitzt. Dementsprechend hat also die Funktion f(z)=z^5+1 in z0=0 eine fünffache Einsstelle, obwohl der Wert w0=1 nur einmal in IC angenommen wird.
interessante Sichtweise. Das geht dann ja darauf zurück, dass Polynome n-ten Grades n Nullstellen besitzen, die aber alle gleich sein können (Vielfachheiten bilden). Aus der gegebenen Def. des Urposts hatte ich das nicht ersehen können, aber deine Idee ist eine gute Erweiterung.
Grüße,
JPL