Abitur und Analysis liegen schon ein paar gute Jährchen hinter mir.
Meine Nachhilfeschülerin kam mit einer Aufgabe bei der ich rechnerisch keine Lösung finde (mit Tabellenkalkulation sehrwohl).
Aufgabe:
Ein Kanalschacht besteht aus einem rechteckigen Teil, Bodenseite a und Höhe b, mit aufgesetztem Halbkreis.
In welchem Verhältnis muss b zu a stehen damit bei einem gegebenen umfang der Querschnitt der Fläche am größten wird?
Hierzu meine Überlegungen:
Ein Kreis bietet das beste Verhätnis von Fläche zu Umfang. Ein Quadrat ist schlechter, aber immernoch besser als jedes Rechteck.
Die Gesamtform der Figur muss der eines Kreises, oder zumindest der eines Quadrates folgen. Das legt nahe, das b kleiner als a sein muss, da anders herum eine Streckung und somit eine Verschlechterung von A zu U erfolgen würde.
Umfang
Rechteck a+2*b
Halbkreis a*PI/2
Fläche
Rechteck a*b
Halbkreis (0,5*a)²*PI/2
Außerdem gilt folgendes:
U = a+2*b + a*PI/2 da b in einem Verhltnis x zu a steht b=x*a
U = a+2*x*a + a*PI/2
U = a (1+2*x+PI/2)
a=U/(1+2*B11+PI()/2)
Gibt man nun U als konstante an, läßt sich über eine variables x a errechnen, und somit b.
Mit einer kostenlosen *zwinker* Tabellenkalkulation ergibt sich das beste Verhältnis von a zu b bei b=0,5a Also halb so hoch wie breit.
Aber wie läßt sich das rechnerisch mit Ableitungen und Extremwerten berechnen ohne eine Tab-Kalk zu nutzen?
Abitur und Analysis liegen schon ein paar gute Jährchen hinter
mir.
na nun übertreib mal nicht.
Als Nachhilfelehrer solltest Du aber Extremwertaufgaben rechnen können.
Die Fläche soll maximal werden, also schreibst Du mal ne Gleichung für diese Fläche auf. Hast Du ja gemacht:
Fläche
Rechteck a*b
Halbkreis (0,5*a)²*PI/2
Die Summe davon ist die Funktion, die maximal werden soll. Da drückst Du jetzt noch das b durch x*a aus und dann alle a über Deine Gleichung
U = a (1+2*x+PI/2)
durch u. Jetzt hast Du ne Gleichung mit nur noch einer Variablen, nämlich x. Das u ist ja konstant.
Na und jetzt wird nach x abgeleitet und das dann 0 gesetzt. Usw.
Kommt Dir das wieder bekannt vor?
Als Nachhilfelehrer solltest Du aber Extremwertaufgaben
rechnen können.
Ich mache das nur für die kleine Schwester meiner Freundin.
Die Fläche soll maximal werden, also schreibst Du mal ne
Gleichung für diese Fläche auf. Hast Du ja gemacht:
Sowohl die Formel für Fläche und Umfang habe ich. Durch ersetzen von b durch xa und a durch U bekomme ich einen Monsterterm!!! Glaube nicht dass das von der 11. verlangt wird.
Kommt Dir das wieder bekannt vor?
Ja sicher, aber da muss es eine einfachere Lösung geben. Nur welche?
also wenn U gegeben ist, ist es relativ einfach. Sollte man
allerdings U als vorausgesetzt betrachten, bekommt man einen
riesen Term - da hast du Recht.
Wie gesagt: Ich kenne solche Aufgaben von meinen
Nachhilfeschülern nur so, dass U explizit gegeben ist.
Dann fällt es dir einfacher b in Abhängigkeit von a anzugeben
und in die Formel zur Flächenberechnung einzusetzen.
Ein Kanalschacht besteht aus einem rechteckigen Teil,
Bodenseite a und Höhe b, mit aufgesetztem Halbkreis.
In welchem Verhältnis muss b zu a stehen damit bei einem
gegebenen umfang der Querschnitt der Fläche am größten wird?
Umfang
Rechteck a+2*b
Halbkreis a*PI/2
Also U = a + 2*b + a*pi/2
b = U/2 - a/2 -a*pi/4
Fläche
Rechteck a*b
Halbkreis (0,5*a)²*PI/2
Also F = a*b + a²*pi/8
b einsetzen, erste Ableitung bilden, nullsetzen, dann hast du a. Daraus bekommst du b und weißt so auch das Verhältnis.