Kann mir jemand Systeme linearer Gleichungen erklären?

Wissenschaft Mathematik
1

Schönen guten Tag.

Wir behandeln in der Schule in Mathe gerade das Thema Systeme linearer Gleichungen,
und ich habe leider keine Ahnung wie dieses genau geht.
Die ersten paar Stunden habe ich noch verstanden, doch dann hat mein Mathematiklehrer nichts mehr erklärt und nur Druck auf einen ausgeübt in dem er jemanden der es nicht verstanden hatte an die Tafel holte und so lange rummotzte bis derjenige geweint hat. oô

Nunja kommen wir mal zu meiner Frage:
Wie bekomme ich x oder y aus Gleichungen heraus?
weil ich dies nicht kann, kann ich auch keine Gleichung lösen. Könnt ihr mir eventuell Beispiele nennen, und mir das erklären?

Danke schon mal für antworten.

Ganz liebe Grüße Nicole.

2

Hey

Also lineare Gleichungen haben die Form f(x)= mx + n
Das heißt man könnte eine Funktion mit f(x)= 3x + 5 haben.
Damit man diese lösen kann muss man zuerst die 3x (also den x-Wert) auf eine Seite bringen:

0 = 3x + 5 | -3x
-3x = 5

Und jetzt muss man die Division durch den Wert beim x durchführen, also:

-3x = 5 | : (-3)
x = - (3/5)

Und schon hast du deinen X-wert.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen :smile:

3

naja aber wie ist das wenn man nicht nur x sondern auch y in der gleichung hat?
dann muss man ja x oder y wegbekommen durch rechnen, nur ich weiß nicht wie das geht und deswegen kann ich die gleichungen nicht lösen…

4

OK, hallo Nicole,
Ich gehe mal davon aus, du meinst lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten (also x und y).

Ich geb mal das Beispiel:

6=9x+3y
4=8x+2y

Generell kann man lineare Gleichungen nur lösen, wenn du so viele Gleichungen wie Unbekannte hast (in diesem Fall also 2 Gleichungen, da 2 Unbekannte).

Zum lösen formst du eine Gleichung nach x oder y um. Ich nehme jetz die erste Gleichung (6=9x+3y) und forme diese nach y um. Raus kommt dann also y=2-9x.

Jetzt setzt du diese Gleichung in die 2. Gleichung (4=8x+2y) ein.
Sieht dann so aus: 4=8x+2(2-9x). Ich hoffe du hast den Schritt verstanden.
Jetz hast du nur noch 1 Gleichung mit 1 Unbekannten und kannst x heraus bekommen indem du es nach x umformst. Sieht dann so aus:

4=8x+4-18x
4=4-10x
0=10x
x=0

Das setzt du jetz in eine der Ausgangsgleichungen ein, und du hast y raus:
6=9*0+3y
y=2

Lösung ist also x=0 und y=2

Lieben Gruß und viel Erfolg
Martin

5

vielen dank, also kann man praktisch wenn man nach y umngeformt hat in der zweiten gleichung das y dann auch weglassne?

ist das im additionsverfahren und im gleichsetzungsverfahren auch so oder ist das da anders?

6

vielen dank, also kann man praktisch wenn man nach y
umngeformt hat in der zweiten gleichung das y dann auch
weglassne?

Nein, du lässt es nicht weg, sondern ersetzt es mit dem Term den du vorher errechnet hast (also dem y=… Teil)

ist das im additionsverfahren und im gleichsetzungsverfahren
auch so oder ist das da anders?

Nein die beiden funktionieren anders.

Additiosverfahren:
Dort probierst du durch Addition der beiden Gleichungen das x oder y rausfallen zu lassen, indem du die Gleichungen durch Multiplikation Veränderst.
Mit dem alten Beispiel:
6=9x+3y
4=8x+2y

Gleichung 1 multiplizierst du mit 2 und Gleichung 2 mit
(-3). Dann komm heraus:
12=18x+6y
-12=-24x-6y
Da die Koeffizienten vor dem y jetz bis aufs Vorzeichen gleich sind und somit bei der Addition rausfallen haben wir das gewünschte erreicht. Also addieren wir jetz die beiden Gleichungen
0=-6x
Damit kommt wieder heraus das x=0 ist. Das vorgehen jetz ist genauso wie vorher (also in eine gleichung einsetzen und y ausrechnen)

Additionsverfahren:
Hier formst du beide gleichungen zu einer unbekannten um, um sie anschließen gleichzusetzen.
6=9x+3y
4=8x+2y
Mit dem Beispiel ergibt sich also, wenn wir beide nach y umformen folgendes:
y=2-3x (sorry da hatte ich vorhin einen Fehler)
y=2-4x

jetz kannst du beide gleichsetzen, da beide die Lösung y haben: 2-3x=2-4x.
Jetz wieder nach x umformen (0=x).
Weiteres Vorgehen wie gehabt.

LLiebe Grüße
Martin

7

vielen vielen dank =)
hat mir seehr weitergeholfen =)

8

vielen vielen dank =)
hat mir seehr weitergeholfen =)

Nichts zu danken, mach ich doch gerne.

Viel Erfolg noch in der Schule.

9

Ja also es ist ja so, dass man immer zuerst das x ausrechnet, genau so, wie ich das oben im Beispiel gemacht habe
Dazu setzt man den Wert für x einfach in die Gleichung ein, alsonoch mal ein Beispiel:

Anfangsgleichung: f(x)= 2x - 7

0 = 2x - 7 | -2x
-2x = -7 | :frowning:-2)
x = 3,5

So und jetzt den y-Wert:

y = 2 * 3,5 - 7
y = 7 - 7
y = 0

Du siehst es kommt eine 0 raus. Das ist die Probe, dass du bei dem x-Wert richtig gerechnet hast.
Der y-Wert ist erst dann interessant, wenn du zwei Gleichungen hast und du wissen willst wann diese sich schneiden.

Also haben wir zwei Geraden mit den Gleichungen:

I f(g)= 4x + 16
II f(h)= 3x + 24

Um diese Aufgabe zu lösen gibt es nun verschiedene Verfahren, aber ich zeige dir hier das „Gleichsetzungsverfahren“.
Dabei setzt man, wie der Name schon sagt, die beiden Gleichungen gleich.
Das geht so:

4x + 16 = 3x + 24

Und jetzt musst du das x auf einer Seite haben (auch lineares Glied genannt) und das „absolute Glied“ (also die restlichen Zahlen) auf der anderen Seite:

4x + 16 = 3x + 24 | -3x
x + 16 = 24 | -16
x = 8

Jetzt kannst du den x-Wert in einer der Gleichungen einsetzen, egal welche:

I y = 4 * 8 + 16
y = 32 + 16
y = 48

Und so kannst du nun die Koordinaten für diesen Schnittpunkt ausrechnen.
In diesem Fall sind es also S(8|48).

Habe ich damit deine Frage beantwortet?

10

Hallo Nicole,

hast du schon bei Wikipedia geschaut?
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Gleichung

ansonsten stell die Frage einfach im Forum. Am besten mit einer konkreten Aufgabe.

Grüße,
erdbrink

11

Hallo Nicole,

ich weiß zwar nicht wie alt du bist, aber ich duze dich jetzt einfach mal. Zunächst einmal scheint dein Lehrer als Lehrer nicht besonders gut zu sein, aber so was kenne ich auch noch aus meiner Schulzeit. Mathematik ist eigentlich gar nicht so schwer, zumindest nicht, wenn man einen Lehrer hat, der es einem gut erklären kann. Das Problem ist nur, dass es sehr viele unterschiedliche Zugänge gibt und nicht jeder mit allen gleich gut klar kommt.

Aus deiner Frage kann ich nicht erkennen, wo deine Probleme liegen, denn wenn du die ersten Stunden verstanden hast, dann müsstest du eigentlich die Grundlagen verstanden haben. Auch weiß ich nicht in welcher Klasse du bist, also auch nicht auf welche Weise du die linearen Gleichungssysteme lösen sollst, also ob ihr schon mit Matrizen rechnet oder über Einsetzungs- und Additionsverfahren. Ich könnte hier jetzt also seitenweise schreiben ohne dir damit helfen zu können.

Ich hatte in der Schule und später in der Uni auch manchmal das Problem, dass ich die Erklärungen einfach nicht nachvollziehen konnte. Ein Prof gab mir dann den Rat, in die Bibliothek zu gehen und mal in alle möglichen Bücher zu schauen und mir dann das zu nehmen, welches das Problem in der für mich verständlichsten Art beschreibt. Den Weg in die Bibliothek kannst du dir, dank Internet, wohl schenken, benutze einfach eine Suchmaschine und gibt dann die Worte „lineare Gleichungssysteme lösen“ ein, schau dir die Ergebnisse an und schau mal ob etwas für dich dabei ist.

Hier sind mal zwei von zig Beispielseiten:
http://www.gecco.info/math/dokumente.html
http://www.lands.de/mathe/linglsyst.htm

Falls du dein Verständnisproblem näher beschreiben kannst, dann melde dich noch einmal. Tut mir leid, dass ich dir nicht genauer helfen konnte.

Viele Grüße
Thomas