hallo
ich bereite mich grad auf meine erste matheklausur im studium vor und finde in meinen unterlagen irgendwie keinen beweis für die gültigkeit von kartesischen produkten!
ich hab da so eine probeklausur, in der es eine aufgabe gibt
(A\B)xC=(AxC)(BxC)
ich habs mit ner wahrheitswertetabelle gemacht und komme darauf, dass es keine tautologie ist!
ist das richtig?
gruß
julia
Morgen, Julia,
(A\B)xC=(AxC)(BxC)
ich habs mit ner wahrheitswertetabelle gemacht und komme
darauf, dass es keine tautologie ist!
A, B, C sind beliebige Mengen, oder? Wie hast du denn hier eine Wahrheitswerttabelle eingesetzt? (Genauer: Wofür hast du Wahrheitswerte bestimmt?)
Für mich ist intuitiv klar, dass das eine Tautologie ist (anschaulich: Es ist egal, ob du vor oder nach der Kombination mit C-Elementen einen Teil der A-Elemente entfernst). Für einen Beweis müsste man wissen, auf welche Axiome du zurückgreifen darfst.
Viele Grüße,
Andreas
Moin Andreas!
Also die Aufgabe lautet:A,B,C seien Mengen. Untersuchen sie die folgenden Mengengleichungen auf Gültigkeit (Beweis oder Gegenbeispiel)
ich habe die Tabelle so gemacht
A B C A\B 1.xC AxC BxC 2.\3.
1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Da 1.xC und 2.\3. gleich sein sollten hab ich gedacht dass es keine tautologie ist!
bin aber auch nicht ganz sicher!
hab ganz schön bammel vor dieser klausur ;(
wär cool wenn du mir helfen könntest!
danke
Julia
Scheiß tabelle
A B C–A\B–1.xC–AxC–BxC–2.\3.
1 1 1—0----1-----1----1----0
1 1 0—0----0-----1----0----1
1 0 1—1----1-----1----1----0
0 1 1—0----1-----1----1----0
0 0 1—0----1-----1----1----0
0 1 0—0----0-----0----0----0
1 0 0—1----0-----0----0----0
0 0 0—0----0-----0----0----0
so jez ist es hoffentlich übersichtlicher
Julia
Hi Julia,
Scheiß tabelle
schreib
davor und danach, dann klappt’s auch mit der Ausrichtung.
A B C–A\B–1.xC–AxC–BxC–2.\3.
1 1 1—0----1-----1----1----0
1 1 0—0----0-----1----0----1
Ich verstehe nicht, wie du den Mengen A bis C Wahrheitswerte zuordnest. Was soll es bedeuten, wenn die Menge A 1 oder 0 ist oder wahr oder falsch? Dieser Ansatz bringt dich also nicht weiter.
(A\B)xC=(AxC)(BxC)
Du könntest folgenden Ansatz wählen: Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, genügt es zu zeigen, dass sie sich gegenseitig als Teilmengen enthalten. Also musst du zeigen:
(1) Aus (u,v) \in (A\B)xC folgt (u,v) \in (AxC)(BxC).
(2) Aus (u,v) \in (AxC)(BxC) folgt (u,v) \in (A\B)xC.
Dann geht’s los mit der ersten Richtung: (1) Sei (u,v) \in (A\B)xC. Dann ist v \in C und u \in A\B, damit aber u \in A, aber u \not\in B.
Aus u \in A und v \in C folgt (u,v) \in AxC.
Aus u \not\in B und v \in C folgt (u,v) \not\in BxC.
und so weiter … und dann noch die Rückrichtung (wenn du aufpasst, dass du beim Schließen nur Äquivalenzen benutzt, könntest du sogar in diesem Fall beide Richtungen in einem Abwasch erledigen).
Gruß,
Andreas
Hallo Julia,
(A\B)xC=(AxC)(BxC)
um das zu zeigen, musst Du nur die Definitionen von „=“ und „“ und „ד verarbeiten. Der Beweis läuft dann praktisch von alleine.
Definition von M = N: klar
Definition von A\B: x ∈ A\B ⇔ x ∈ A und x ∉ B
Definition von X × Y: (x, y) ∈ X × Y ⇔ x ∈ X und y ∈ Y
Daraus folgt einerseits:
(x, y) ∈ (A\B) × C ⇔ x ∈ A\B und y ∈ C
⇔ x ∈ A und x ∉ B und y ∈ C [
]
…und andererseits:
(x, y) ∈ (A × C) \ (B × C) ⇔ (x, y) ∈ A × C und (x, y) ∉ B × C
⇔ x ∈ A und y ∈ C und nicht (x ∈ B und y ∈ C)
⇔ x ∈ A und y ∈ C und (x ∉ B oder y ∉ C)
⇔ (x ∈ A und y ∈ C und x ∉ B) oder (x ∈ A und y ∈ C und y ∉ C)
⇔ (x ∈ A und y ∈ C und x ∉ B) oder FALSCH
⇔ x ∈ A und y ∈ C und x ∉ B
⇔ []
Dabei wurden folgende Gesetze der Aussagenlogik benutzt:
nicht (p und q) = (nicht p) oder (nicht q) (Verneinungsgesetz)
p und (q oder r) = (p und q) oder (p und r) (Distributivgesetz)
p oder FALSCH = p
Der eingeklammerte Teil nach dem „oder“ in der vierten Zeile hat stets den Wahrheitswert FALSCH, weil kein y sowohl in C als auch nicht in C liegen kann.
(x, y) ∈ (A\B) × C ist also erwiesenermaßen äquivalent zu (x, y) ∈ (A × C) \ (B × C), und das bedeutet definitionsgemäß die Gleichheit der Mengen:
(A\B) × C = (A × C) \ (B × C)
Gruß und viel Erfolg beim Test
Martin
Hallo Julia!
Die Antworten hast Du ja schon ausführlich bekommen. Ich hatte Dir ja kürzlich auch eine Mengengleichheit erklärt. Einfach merken: X=Y zeigst Du durch XcY und YcX, und um z.B. XcY zu zeigen, nimmst Du Dir einfach ein Element aus X her, schaust, was Du darüber weißt, kuckst, was Du wissen musst, damit es in Y liegt, und dann musst Du nur noch überlegen, warum Du das alles weißt. Sieh zur Not noch mal in meiner Antwort von „damals“ nach, wie ich das da gemacht hab, und vergleich es mit den Antworten hierauf. Dann wirst Du erkennen, dass das alles dasselbe ist.
Zur Wahrheitswerttabelle:
A B C–A\B–1.xC–AxC–BxC–2.\3.
1 1 1—0----1-----1----1----0
1 1 0—0----0-----1----0----1
1 0 1—1----1-----1----1----0
0 1 1—0----1-----1----1----0
0 0 1—0----1-----1----1----0
0 1 0—0----0-----0----0----0
1 0 0—1----0-----0----0----0
0 0 0—0----0-----0----0----0
Ich verstehe ja, wofür das die Wahrheitswerte sein sollen (wahr oder falsch können ja nur Aussagen sein), nämlich für
x€A, x€B u.s.w., und der Wert für „A\B“ (also eigentlich x€A\B) ist dann auch richtig ermittelt.
Aber wie zum Henker kommst Du auf die Werte für z.B. AxC? Aus x€A und y€B folgt (x,y)€AxC; aus x€A und ¬y€B folgt eben ¬(x,y)€AxC, aber das spiegelt sich in keiner Weise in Deiner Tabelle wider. Vor allem verwundert mich, dass in der zweiten und der vorletzten Zeile die Einträge in den Spalten für A und für C jeweils übereinstimmen, aber in der Spalte für AxC nicht:
A B C --A\B–1.xC-- AxC --BxC–2.\3.
1 1 0 —0----0----- 1 ----0----1
1 0 0 —1----0----- 0 ----0----0
Wie kommt das denn?
Liebe Grüße
Immo
Danke Immo!
Ich habs mittlerweile auch geblickt das es im endeffekt dasselbe ist!
Ich bereite mich nur grad auf meine erste klausur im studium vor und bin noch unsicherer als vorher!
aber danke nochmal!
Gruß
Julia
Danke Martin!
Ich werd mir Mühe geben!
Herzlichen Dank für die ausführliche Lösung!
Gruß
Julia